Question

Log3(3x+1) ≤2 подробно (с проверкой) пожалуйста

Answer 1

Log₃(3x+1)≤2
1) Находим область определения:
    3x+1>0
    3x>-1
    x>-¹/₃
2) 3²=9   =>   2=log₃9
3) log₃(3x+1)≤log₃9
4) Основание логарифма- число 3 >1, следовательно,
    можно "снять" знак логарифма не меняя  знака неравенства.
    Решаем неравенство:
    3x+1≤9
    3x≤8
    x≤⁸/₃
    x≤2²/₃
 5) Осталось проверить какая часть найденного интервала входит в область определения:
    
   \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
______________________________________   2²/₃ ___________
                                                -¹/₃//////////////////////////////////////////////////////

Ответ: (-¹/₃; 2²/₃]
    
    

Answer 2

Чтобы решить неравенство $\log_3(3x+1) \leq 2$, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найти область допустимых значений.

Ограничение в неравенстве $\log_3(3x+1)$ говорит нам, что аргумент логарифма ($3x+1$) должен быть положительным. Исключим из рассмотрения значения, при которых $3x+1 \leq 0$:

$3x+1 > 0$

Выразим $x$:

$3x > -1$

$x > \frac{-1}{3}$

Таким образом, область допустимых значений для $x$ - это все значения $x$, которые больше $\frac{-1}{3}$.

Шаг 2: Найти точку пересечения с $\log_3(3x+1) = 2$.

Когда $\log_3(3x+1) = 2$, значит $3x+1 = 3^2 = 9$:

$3x+1 = 9$

$3x = 9 - 1$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

Шаг 3: Построить знаковую линию и проверить знак в интервалах.

Построим знаковую линию на числовой оси, используя найденные точки $\frac{-1}{3}$ и $\frac{8}{3}$:

$--- \frac{-1}{3}$ --------- $\frac{8}{3}$ ------- $+$

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов:

• Для $x < \frac{-1}{3}$ возьмем $x = 0$.
• Для $\frac{-1}{3} < x < \frac{8}{3}$ возьмем $x = 1$.
• Для $x > \frac{8}{3}$ возьмем $x = 3$.

Шаг 4: Проверить неравенство в каждом интервале.

1. При $x = 0$: $\log_3(3 \cdot 0 + 1) = \log_3(1) = 0$, и $0 \leq 2$ - выполняется.

2. При $x = 1$: $\log_3(3 \cdot 1 + 1) = \log_3(4) \approx 1.26$, и $1.26 \leq 2$ - выполняется.

3. При $x = 3$: $\log_3(3 \cdot 3 + 1) = \log_3(10) \approx 2.3$, и $2.3 \leq 2$ - не выполняется.

Шаг 5: Записать ответ.

Итак, решением неравенства $\log_3(3x+1) \leq 2$ является интервал $x \in \left(\frac{-1}{3}, \frac{8}{3}\right]$.