Question

2 cos пx/3 = -1 Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Answer 1

$\tt 2\cos\frac{\pi x}{3} =-1\\ \\ \cos \frac{\pi x}{3} =-0.5\\ \\ \frac{\pi x}{3} =\pm \frac{2\pi}{3} +2\pi n,n \in \mathbb{Z}~~|\cdot \frac{3}{\pi} \\ \\ x=\pm2 +6n,n \in \mathbb{Z}$

Наибольший отрицательный корень уравнения при n=0; x= -2.

Answer 2

Для того чтобы найти корни уравнения, нужно решить его относительно переменной x. Начнем:

Уравнение: 2cos(πx/3) = -1

Сначала перенесем -1 на другую сторону:

2cos(πx/3) + 1 = 0

Теперь выразим cos(πx/3):

cos(πx/3) = -1/2

Так как нам нужно найти наибольший отрицательный корень, то диапазон значений cos(πx/3), который нас интересует, это (-1, 0), так как cos(πx/3) = -1/2 находится между -1 и 0.

Известно, что cos(π/3) = 1/2, и cos(π) = -1.

Таким образом, для нашего уравнения имеем два интервала:

1. πx/3 = π x = 3

2. πx/3 = 2π x = 6

Теперь остается проверить, какие из этих корней являются наибольшими отрицательными.

Как видно, оба корня положительные (3 и 6), но в нашем уравнении нас интересуют только отрицательные корни.

Чтобы получить отрицательные значения cos(πx/3), нужно выбирать значения x между π и 2π, и также между 2π и 3π, так как cos(πx/3) периодична с периодом 2π.

Для π < x < 2π: πx/3 = π + φ, где 0 < φ < π x = 3 + 3φ/π, где 0 < φ < π

Для 2π < x < 3π: πx/3 = 2π + φ, где 0 < φ < π x = 6 + 3φ/π, где 0 < φ < π

Мы хотим, чтобы x было меньше 0, поэтому нас интересует диапазон 3 + 3φ/π < 0.

3φ/π < -3 φ < -π

Однако заметим, что φ не может быть меньше -π, так как она находится в диапазоне от 0 до π. Это означает, что у данного уравнения нет отрицательных корней, и следовательно, наибольший отрицательный корень не существует.

Таким образом, ответ: наибольший отрицательный корень уравнения не существует.