Question

Докажите, что если a и c числа разных знаков, то квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни. Каковы их знаки?

Answer 1

$ax^2+bx+c=0$

Если а и с разных знаков, то  $a\cdot c$  .

Дискриминант  $D=b^2-4ac>0$  , так как b²≥0 , -4ас>0 , значит дискриминант  будет > 0 . При D>0 квадратное уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета произведение корней даёт число, равное с/а, которое отрицательно. Значит множители произведения будут разных знаков, то есть корни разных знаков.

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}0\; ,\; x_2$

Answer 2

Для доказательства того, что квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 имеет корни, когда a и c имеют разные знаки, давайте рассмотрим возможные случаи.

Пусть a и c имеют разные знаки. Тогда возможны две ситуации:

1. a > 0 и c < 0: В этом случае у нас есть положительный коэффициент при квадратичном члене (a > 0) и отрицательный свободный член (c < 0). Важно заметить, что линейный член bx может быть любого знака, это не играет роли при доказательстве наличия корней.

Так как функция квадратного уравнения имеет параболическую форму и коэффициент a положителен, то парабола будет "выгнута" вверх. А так как свободный член c отрицателен, то парабола будет пересекать ось ординат (ось y) в некоторой точке над нулем (поскольку парабола "выгнута" вверх). Эта точка пересечения и будет корнем уравнения.

2. a < 0 и c > 0: В этом случае у нас есть отрицательный коэффициент при квадратичном члене (a < 0) и положительный свободный член (c > 0). Аналогично первому случаю, линейный член bx может быть любого знака.

Теперь функция квадратного уравнения имеет параболическую форму, но с отрицательным коэффициентом a, что означает, что парабола будет "выгнута" вниз. При этом свободный член c положителен, и парабола будет пересекать ось ординат в некоторой точке ниже нуля (поскольку парабола "выгнута" вниз). Эта точка пересечения также будет корнем уравнения.

В обоих случаях, так как a и c имеют разные знаки, квадратное уравнение будет иметь два различных корня, один положительный и один отрицательный.

При этом, знаки корней зависят от соответствующих значений a, b и c, и для определения их знаков нам нужны конкретные значения коэффициентов уравнения. В общем случае нельзя однозначно утверждать, какими будут знаки корней без дополнительной информации о значениях a, b и c.