Question

составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 1) - корень из 13 2) корень из 7

Answer 1

Пользуемся теоремой Виета:  

$x^2+px+q=0\; \; \Leftrightarrow \; \; \left \{ {{x_1\cdot x_2=q} \atop {x_1+x_2=-p}} \right.$

Например,

$1)\; \; x_1=-\sqrt{13}\; ,\; x_2=\sqrt{13}\; ,\; \left \{ {{-\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=q} \atop {-\sqrt{13}+\sqrt{13}=-p}} \right. \; \left \{ {{q=-13} \atop {p=0}} \right. \\\\x^2+0\cdot x-13=0\; \; \to \; \; \underline {x^2-13=0}\\\\2)\; \; x_1=\sqrt7\; ,\; \; x_2=-\sqrt7\; ,\; \left \{ {{q=-\sqrt7\cdot \sqrt7=-7} \atop {p=-(\sqrt7-\sqrt7)=0}} \right. \; \; \to \; \; \underline {x^2-7=0}$

Answer 2

Для того чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, зная два корня, нужно использовать свойство квадратных уравнений, которое гласит, что если "a" и "b" являются корнями квадратного уравнения вида:

ax^2 + bx + c = 0

Тогда само уравнение можно представить в виде:

(x - a)(x - b) = 0

Теперь применим это свойство к нашим корням:

1. Корень из 13: x = -√13
2. Корень из 7: x = √7

Теперь запишем уравнение:

(x - (-√13))(x - √7) = 0

(x + √13)(x - √7) = 0

Раскроем скобки, чтобы получить уравнение с рациональными коэффициентами:

x^2 - √7x + √13x - √91 = 0

x^2 + (√13 - √7)x - √91 = 0

Таким образом, квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, у которого один из корней равен корню из 13, а другой корень равен корню из 7, будет:

x^2 + (√13 - √7)x - √91 = 0