Question

Решите пожалуйста систему уравнений а) xy =12;x^2+y^2=25

Answer 1

Выражаем из первого уравнения х=12/у. Подставляем его во второе уравнение:

$></p> <p><img src=$

При условии у≠0 избавляемся от знаменателя, решаем получившееся квадратное уравнение.

$y^{4}-25y^{2} +144 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = $b^{2}$ - 4ac = $(-25)^{2}$ - 4·1·144 = 625 - 576 = 49

Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня:

$y^{2}1$ = 9

$y^{2}2$= 16

Тогда у1=3, у2=-3, у3=4, у4=-4.

Соответственно, х1=4, х2=-4, х3=3, х4=-3

Ответ: (4, 3); (-4, -3); (3, 4); (-3, -4)

Answer 2

Для решения системы уравнений, состоящей из уравнений $xy = 12$ и $x^2 + y^2 = 25$, мы можем использовать метод подстановки. В системах с двумя уравнениями и двумя переменными, одну из переменных можно выразить через другую в одном из уравнений и подставить полученное значение во второе уравнение.

Давайте решим систему шаг за шагом:

1. Выразим одну из переменных через другую. Используем первое уравнение: $xy = 12 \Rightarrow y = \frac{12}{x}$.

2. Подставим $y$ из первого уравнения во второе уравнение: $x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25$.

3. Решим полученное уравнение:

$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$

4. Умножим обе части уравнения на $x^2$ для избавления от дробей:

$x^4 + 144 = 25x^2$

5. Перенесем все члены в левую сторону уравнения:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

6. Попробуем представить уравнение в виде квадратного:

Пусть $t = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 25t + 144 = 0$

7. Теперь решим уравнение вида $t^2 - 25t + 144 = 0$ с помощью квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1}$

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2}$

$t = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2}$

8. Разберем два случая:

a) $t = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16$

b) $t = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$

9. Найдем значения переменных $x$ и $y$ для каждого случая:

a) Когда $t = 16$, тогда $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.

Если $x = 4$, то $y = \frac{12}{4} = 3$.

Если $x = -4$, то $y = \frac{12}{-4} = -3$.

b) Когда $t = 9$, тогда $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.

Если $x = 3$, то $y = \frac{12}{3} = 4$.

Если $x = -3$, то $y = \frac{12}{-3} = -4$.

Таким образом, получаем 4 возможных решения для данной системы уравнений:

1. $x = 4, y = 3$

2. $x = -4, y = -3$

3. $x = 3, y = 4$

4. $x = -3, y = -4$

Проверим каждое решение, подставив значения $x$