Question

Как доказать что ((3^4n)-1)/2 кратно 40?

Answer 1

Как уже было показано в комментарии, при n=1 это утверждение верно. Пусть теперь n=k: положим, что (3^4k-1)/2=40*m, где m - натуральное число. Переходя к n=k+1, получим выражение (3^(4k+4)-1)/2=(81*3^4k-1)/2=(3^4k+80*3^4k-1)/2=(3^4k-1)/2+80*3^4k/2=40*m+40*3^4k=40*(m+3^4k). Так как число 3^4k - натуральное,  то таким будет и число m+3^4k. Обозначив его через n1, получим  (3^(4k+4)-1)/2=40*n1. А это значит, что число  (3^(4k+4)-1)/2 кратно 40. Теперь из верности утверждения при n=1 следует его верность при n=2; из верности при n=2 следует верность при n=3 и.т.д. для всех натуральных чисел. Утверждение доказано.    

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $\frac{{3^{4n}-1}}{2}$ кратно 40, можно использовать метод математической индукции. Индукция — это метод математического доказательства для утверждений, которые зависят от целого числа n.

Шаг 1: Базовый случай Проверим, выполняется ли утверждение для наименьшего значения n, то есть n = 1: $\frac{{3^{4 \cdot 1}-1}}{2} = \frac{{3^4-1}}{2} = \frac{{81-1}}{2} = \frac{{80}}{2} = 40.$

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение выполняется для некоторого положительного целого числа k, то есть: $\frac{{3^{4k}-1}}{2} = 40 \cdot m,$ где m - некоторое целое число.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение также выполняется для k+1: $\frac{{3^{4(k+1)}-1}}{2} = \frac{{3^{4k \cdot 3^4}-1}}{2} = \frac{{81 \cdot 3^{4k}-1}}{2} = \frac{{80 \cdot 3^{4k} + 3^{4k} -1}}{2}$

Заметим, что $3^{4k}$ делится на 40 (используем предположение индукции), так как $3^{4k} = 40 \cdot m$. Тогда выражение можно переписать как:

$\frac{{80 \cdot 3^{4k} + 3^{4k} -1}}{2} = \frac{{40 \cdot 2 \cdot 3^{4k} + 3^{4k} -1}}{2} = 40 \cdot 3^{4k} + \frac{{3^{4k} -1}}{2}.$

Мы видим, что первый член $40 \cdot 3^{4k}$ делится на 40, а второй член $\frac{{3^{4k} -1}}{2}$ также делится на 40, так как мы предположили, что утверждение выполняется для k. Следовательно, $40 \cdot 3^{4k} + \frac{{3^{4k} -1}}{2}$ также делится на 40.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение выполняется для некоторого положительного целого числа k, то оно также выполняется для k+1.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех положительных целых чисел n.