Question

Доказать что при любом натуральном значении n выражения: 1.15^n-1 кратно 7 2.7^n+5 кратно 6 3. 5^2n-3^2n кратно 16 4.7^n+3^n+1 кратно 4

Answer 1

Решение первых трех. В четвёртом необходимо уточнение условия. Так как написано, то не кратно 4.

Answer 2

1. Докажем утверждение методом математической индукции.

База индукции: при n = 1 получаем 1.15^1-1 = 1.15-1 = 0.15, что не кратно 7.

Предположение индукции: пусть утверждение верно для некоторого натурального k.

Шаг индукции: докажем, что утверждение верно для n = k+1. Имеем:

1.15^(k+1)-1 = 1.15^k * 1.15 - 1 = 1.15^k * (1.15 - 1) + 1.15^k - 1 = 1.15^k * 0.15 + (1.15^k - 1)

Заметим, что 1.15^k * 0.15 - это число вида 15/100 * 1.15^k, т.е. дробное число. Тогда 1.15^(k+1)-1 кратно 7 тогда и только тогда, когда 1.15^k - 1 кратно 7 (т.к. 7 не делит 15), что выполняется по предположению индукции. Таким образом, утверждение верно для всех натуральных n.

2. По модулю 2 любое число имеет остаток 0 или 1. Рассмотрим два случая:

• Если n имеет остаток 0 при делении на 2, то 7^n имеет остаток 1 по модулю 2, а 2.7^n+5 имеет остаток 1+1 = 2 = 0 по модулю 2, т.е. кратно 2.
• Если n имеет остаток 1 при делении на 2, то 7^n имеет остаток 1 по модулю 2, а 2.7^n+5 имеет остаток 2+1 = 3 = 1 по модулю 2, т.е. не кратно 2.

Таким образом, утверждение верно только при четном n.

3. Разложим выражение 5^2n-3^2n на множители:

5^2n-3^2n = (5^n+3^n) * (5^n-3^n)

Заметим, что 5^n+3^n - это сумма двух нечетных чисел, т.е. четное число. Тогда 5^n+3^n кратно 2, а значит, 5^n+3^n-2 кратно 2. Значит, нужно доказать, что (5^n-3^n)/2 кратно 8.

Рассмотрим два случая:

• Если n имеет остаток 0 при делении на 2, то 5^n и 3^n оба кратны 4, т.е.