Question

Определите, сколько решений имеет система уравнений, и дайте геометрическое объяснение + построить график а) x+y=2 x+y=3 b) x+y=4 x-y=2 в) 2x - 3y=4 y=5 г) 2x - 4y = 6 x - 2y = 3

Answer 1

Решаем систему уравнений аналитически,

находим значения х и у.

Построив график этих уравнений, мы видим,

если есть точки пересечения графиков, то это и будут решения системы.

Если графики не пересекаются, то система решений не имеет.

См фото

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую систему уравнений по отдельности и определим количество решений их геометрическим объяснением:

а) Система уравнений:

1. x + y = 2
2. x + y = 3

Вычтем второе уравнение из первого: (x + y) - (x + y) = 2 - 3 0 = -1

Мы получили противоречие (0 ≠ -1), что означает, что система не имеет решений. Графически это можно интерпретировать так: уравнения задают две параллельные прямые на плоскости, которые не пересекаются, следовательно, нет точек, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям.

График системы уравнений a):

markdownCopy code
  |       * (0, 2)    * (0, 3)
3 |  *       
2 |      *        
1 | *          
0 |___________________
     0   1   2   3   4

б) Система уравнений:

1. x + y = 4
2. x - y = 2

Сложим оба уравнения: (x + y) + (x - y) = 4 + 2 2x = 6 x = 3

Подставим значение x в одно из уравнений: 3 + y = 4 y = 1

У нас есть единственное решение (x = 3, y = 1). Графически это можно объяснить так: оба уравнения задают прямые на плоскости, которые пересекаются в единственной точке.

График системы уравнений б):

markdownCopy code
  |       
4 |     * (3, 1)  
3 |  *       
2 |         
1 | *          
0 |___________________
     0   1   2   3   4

в) Система уравнений:

1. 2x - 3y = 4
2. y = 5

Подставим значение y в первое уравнение: 2x - 3 * 5 = 4 2x - 15 = 4 2x = 19 x = 9.5

У нас есть единственное решение (x = 9.5, y = 5). Графически это можно объяснить так: первое уравнение задает прямую на плоскости, а второе уравнение задает горизонтальную прямую, которая пересекается с первой в единственной точке.

График системы уравнений в):

markdownCopy code
  |       * (9.5, 5)  
6 |  *       
5 |  *    
4 |  *    
3 |  *    
2 |  *    
1 |  *    
0 |___________________
     0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

г) Система уравнений:

1. 2x - 4y = 6
2. x - 2y = 3

Давайте разделим оба уравнения на 2:

1. x - 2y = 3
2. x - 2y = 3

Обратите внимание, что оба уравнения теперь имеют одинаковый левый член, но разные правые части. Это значит, что эти уравнения представляют собой одну и ту же прямую. Система имеет бесконечное количество решений, так как каждая точка на этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям.

График системы уравнений г):

markdownCopy code
  |  * 
3 |  *  
2 |  *  
1 |  *  
0 |___________________
     0   1   2   3   4   5

Все графики построены с помощью координатной сетки, где горизонтальная ось - это ось x, вертикальная ось - это ось y. Каждая точка на графике соответствует решению системы уравнений. В случае, когда прямые пересекаются в одной точке, у нас есть одно решение; если прямые совпадают, у нас есть бесконечное количество решений; и если прямые параллельны и не пересекаются, у системы нет решений.