Question

Помогите пожалуйста!!! Найти частное решение (частный интеграл) уравнения. yy'-x=1, y(1)=3

Answer 1

Ответ: y²=(x+1)²+5.

Объяснение:

Перепишем уравнение в виде y*y'=x+1, или y*dy/dx=x+1. Умножая обе части на dx, приходим к уравнению y*dy=(x+1)*dx, которое можно записать в виде y*dy=(x+1)*d(x+1). Интегрируя обе части, находим y²/2=(x+1)²/2+C/2, где C - произвольная постоянная. Отсюда y²=(x+1)²+C - общий интеграл уравнения. Используя теперь условие y(1)=3, получаем уравнение 3²=(1+1)²+C, решая которое, находим C=5. Отсюда y²=(x+1)²+5 - частный интеграл уравнения.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения мы можем использовать метод переменных separable variables.

Шаг 1: Перепишем уравнение yy' - x = 1 в виде:

yy' = x + 1

Шаг 2: Разделим переменные, переместив все, связанное с y, на одну сторону, а все, связанное с x, на другую сторону:

dy/y = (x + 1)dx

Шаг 3: Проинтегрируем обе части уравнения:

∫(1/y)dy = ∫(x + 1)dx

ln|y| = (1/2)x^2 + x + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Применим начальное условие y(1) = 3 для нахождения постоянной интегрирования C1:

ln|3| = (1/2)(1^2) + 1 + C1

ln|3| = 1/2 + 1 + C1

C1 = ln|3| - 3/2

Таким образом, получаем частное решение уравнения yy' - x = 1:

ln|y| = (1/2)x^2 + x + ln|3| - 3/2

Это выражение представляет собой общую форму частного решения данного дифференциального уравнения с заданным начальным условием y(1) = 3.