Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Найдите наибольший из коэффициентов a и b кубического многочлена x^3+ax^2+bx+4, имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трехчлена x^2+2x−1.

Answer 1

Представим данное выражение в виде разложения на множители

$x^3+ax^2+bx+4=(x-x_1)(x^2+2x-1)$

где $x_1$ — неизвестный корень. Тогда

$x^3+ax^2+bx+4=x^3+2x^2-x-x_1x^2-2xx_1+x_1=\\ \\ \\ =x^3+x^2(2-x_1)+x(-1-2x_1)+x_1$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}2-x_1=a\\&\text{}-1-2x_1=b\\&\text{}x_1=4\end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}&\text{}a=-2\\&\text{}b=-9\\&\text{}x_1=4\end{cases}$

Наибольшее значение из коэффициентов a и b: -2

Ответ: -2.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться информацией о корнях квадратного трехчлена, чтобы сформулировать систему уравнений, которую мы сможем решить.

Известно, что x^2+2x−1 имеет два корня, которые являются корнями кубического многочлена x^3+ax^2+bx+4. Обозначим эти корни как p и q.

Таким образом, мы имеем следующие два уравнения: (p^3 + ap^2 + bp + 4) = 0 (q^3 + aq^2 + bq + 4) = 0

Мы также знаем, что кубический многочлен имеет три различных корня. Если p и q являются двумя из этих корней, то третий корень, обозначим его как r, должен быть различным от p и q.

Используя свойство суммы корней многочлена, мы можем записать следующее уравнение: p + q + r = -a

Теперь мы имеем систему из трех уравнений, которую мы можем решить. Давайте продолжим.

Первое уравнение: (p^3 + ap^2 + bp + 4) = 0 Второе уравнение: (q^3 + aq^2 + bq + 4) = 0 Третье уравнение: p + q + r = -a

Мы хотим найти наибольший из коэффициентов a и b. Для этого нам нужно решить систему уравнений и найти значения a и b.