Question

Найдите сумму коэффициентов a и b кубического многочлена х^3+ax^2+bx+3 , имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трехчлена x^2+2x-1 .

Answer 1

Представим данное выражение в виде разложения на множители

$x^3+ax^2+bx+3=(x-x_1)(x^2+2x-1)$

где $x_1$ — неизвестный корень. Тогда

$x^3+ax^2+bx+3=x^3+2x^2-x-x_1x^2-2xx_1+x_1=\\ \\ \\ =x^3+x^2(2-x_1)+x(-1-2x_1)+x_1$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}2-x_1=a\\&\text{}-1-2x_1=b\\&\text{}x_1=3\end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}&\text{}a=-1\\&\text{}b=-7\\&\text{}x_1=3\end{cases}$

Сумма коэффициентов a и b: -1 + (-7) = -8

Ответ: -8.

Answer 2

Для начала, давайте найдем корни квадратного трехчлена x^2 + 2x - 1.

Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В данном случае, коэффициенты a, b и c равны:

a = 1, b = 2, c = -1.

Подставим их в формулу:

x = (-(2) ± √((2)^2 - 4(1)(-1))) / (2(1)).

x = (-2 ± √(4 + 4)) / 2.

x = (-2 ± √8) / 2.

x = (-2 ± 2√2) / 2.

x = -1 ± √2.

Таким образом, у нас есть два корня квадратного трехчлена: x = -1 + √2 и x = -1 - √2.

Теперь, чтобы у многочлена x^3 + ax^2 + bx + 3 было три различных корня, его третий корень должен быть отличен от корней квадратного трехчлена. Давайте обозначим третий корень как x = k.

Тогда мы можем записать следующие уравнения:

x^3 + ax^2 + bx + 3 = (x - (-1 + √2))(x - (-1 - √2))(x - k).

Раскроем скобки:

x^3 + ax^2 + bx + 3 = (x + 1 - √2)(x + 1 + √2)(x - k).

x^3 + ax^2 + bx + 3 = ((x + 1)^2 - (√2)^2)(x - k).

x^3 + ax^2 + bx + 3 = (x^2 + 2x + 1 - 2)(x - k).

x^3 + ax^2 + bx + 3 = (x^2 + 2x - 1)(x - k).

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих уравнениях:

x^3: 1 = 1. Соответствие выполняется.

x^2: a = 2 + (-1) = 1. Таким образом, a = 1.

x: b = 2(-1) + (2 + 1)k = -2 + 2 + k = k. Таким образом, b = k.

Константа: 3 = -1 - 2 + k(-1) = -3 - k. Таким образом, k = 6.

Итак, сумма коэффициентов a и b равна a + b = 1 + 6 = 7.