Question

Найдите сумму коэффициентов a и b кубического многочлена x3+ax2+bx+4, имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трехчлена x2+2x–1.

Answer 1

Представим данное выражение в виде разложения на множители

$x^3+ax^2+bx+4=(x-x_1)(x^2+2x-1)$

где $x_1$ — неизвестный корень. Тогда

$x^3+ax^2+bx+4=x^3+2x^2-x-x_1x^2-2xx_1+x_1=\\ \\ \\ =x^3+x^2(2-x_1)+x(-1-2x_1)+x_1$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}2-x_1=a\\&\text{}-1-2x_1=b\\&\text{}x_1=4\end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}&\text{}a=-2\\&\text{}b=-9\\&\text{}x_1=4\end{cases}$

Сумма коэффициентов a и b: -2 + (-9) = -11

Ответ: -11.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства коэффициентов и корней многочленов.

Известно, что кубический многочлен имеет три различных корня, и два из них являются корнями квадратного трехчлена. Пусть эти два корня квадратного трехчлена будут p и q.

Таким образом, у нас есть следующее:

p + q = -2 (сумма корней квадратного трехчлена)

Также известно, что кубический многочлен имеет три корня, поэтому у нас есть еще один корень, пусть он будет r.

Теперь мы можем записать уравнение, используя свойство многочленов:

(x - p)(x - q)(x - r) = x^3 + ax^2 + bx + 4

Раскрывая скобки, получим:

(x^2 - (p + q)x + pq)(x - r) = x^3 + ax^2 + bx + 4

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих частях уравнения:

• (p + q)r = b (коэффициент при x в правой части равен b)

pq - pr - qr = a (коэффициент при x^2 в правой части равен a)

Из первого уравнения можно выразить b через p, q и r:

b = - (p + q)r

Теперь подставляем это выражение для b во второе уравнение:

pq - pr - qr = a

pq + (p + q)r = a

pq + pr + qr = a

Таким образом, сумма коэффициентов a и b равна:

a + b = pq + pr + qr - (p + q)r

Мы можем найти значение этого выражения, подставив известные значения p + q и r. Так как p + q = -2, а r - третий корень кубического многочлена, мы не знаем его значение и не можем определить точное значение a + b без дополнительной информации о r.