Question

1. Найдите значение предела: lim x стремится к 3 x^3-27/x^2-92. Вычислите значение предела: lim x стремится к 0 sin8x/tg5x3. Дана функция y= x^2+5x+2/x-2a) Запишите уравнение вертикальной асимптоты. b) С помощью выделения целой части, найдите уравнение наклонной асимптоты. c) Используя предел, покажите, что Вы верно нашли наклонную асимптоту. 4. Известно, что lim x стремится к 2 f(x)=3 и lim x стремится к 2 g(x)= -1. Определите, будут ли следующие функции непрерывными в точке:a) 3 f(x)+g(x);b) f(x)/g(x)+1​

Answer 1

Ответ:

1) 4.5

Объяснение:

1) lim(x --> 3) (x^3 - 27) / (x^2 - 9) = (3^3 - 27) / (3^2 - 9) = (27 - 27) / (9 - 9) = 0/0.

0/0 - неопределённость.

1-ое правило Лопиталя гласит, что lim(х --> 1) (х - 1)/(х^2 - 2) = lim(x --> 1) производная от числителя делить на производную от знаменателя.

В твоём случаи производная от числителя = 3х^2, а производная от знаменателя = 2х.

lim(x --> 3) 3x^2 / 2x = lim(x --> 3) 3x / 2 = (3 * 3) / 2 = 9 / 2 = 4.5

Answer 2

1. Найдите значение предела:

a) Найдем значение предела lim(x -> 3) [(x^3 - 27) / (x^2 - 92)]:

Подставим x = 3 в выражение: lim(x -> 3) [(3^3 - 27) / (3^2 - 92)] = lim(x -> 3) [(27 - 27) / (9 - 92)] = lim(x -> 3) [0 / -83] = 0 / -83 = 0

b) Найдем значение предела lim(x -> 0) [sin(8x) / tan(5x^3)]:

Подставим x = 0 в выражение: lim(x -> 0) [sin(80) / tan(50^3)] = lim(x -> 0) [sin(0) / tan(0)] = lim(x -> 0) [0 / 0]

Так как здесь получаем неопределенность 0/0, применим правило Лопиталя, продифференцировав числитель и знаменатель по переменной x и затем вычислим предел снова: lim(x -> 0) [d/dx(sin(8x)) / d/dx(tan(5x^3))] = lim(x -> 0) [8cos(8x) / (35x^2cos^2(5x^3))] = 8cos(0) / (350^2cos^2(0)) = 8 / 0

Здесь снова получаем неопределенность 8/0. Применим правило Лопиталя еще раз: lim(x -> 0) [d/dx(8cos(8x)) / d/dx(35x^2cos^2(5x^3))] = lim(x -> 0) [-64sin(8x) / (310xcos^2(5x^3) - 30x^3sin(5x^3))] = -64sin(0) / (3100cos^2(0) - 300^3sin(0)) = 0 / 0

Опять получили неопределенность 0/0. Применим правило Лопиталя в третий раз: lim(x -> 0) [d/dx(-64sin(8x)) / d/dx(310xcos^2(5x^3) - 30x^3sin(5x^3))] = lim(x -> 0) [-512cos(8x) / (310cos^2(5x^3) - 303x^2sin(5x^3) - 30x^3cos(5x^3))] = -512cos(0) / (310cos^2(0) - 3030^2sin(0) - 300cos(0)) = -512 / 30

Ответ: lim(x -> 0) [sin(8x) / tan(5x^3)] = -512 / 30 = -256 / 15.

2. Дана функция y = (x^2 + 5x + 2) / (x - 2).

a) Запишем уравнение вертикальной асимптоты: Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель равен нулю, т.е. x - 2 = 0. Решим это уравнение: x = 2

Уравнение вертикальной асимптоты: x = 2.

b) Выделение целой части для определения наклонной асимптоты: Для выделения наклонной асимптоты проведем деление многочленов (x^2 + 5x + 2) на (x - 2) с помощью долгого деления или синтетического деления:

scssCopy code
       x + 7
    ___________
x - 2 | x^2 + 5x + 2
       -(x^2 - 2x)
    ___________
             7x + 2
           -(7x - 14)
    ___________
                 16

Таким образом, получаем, что функцию (x^2 + 5x + 2) / (x - 2) можно записать в виде: y = x + 7 + 16 / (x - 2).

c) Покажем, что наклонная асимптота совпадает с функцией y = x + 7:

lim(x -> ∞) [x + 7 + 16 / (x - 2)] = ∞ + 7 + 0 = ∞ lim(x -> -∞) [x + 7 + 16 / (x - 2)] = -∞ + 7 + 0 = -∞

Таким образом, наклонная асимптота функции y = (x^2 + 5x + 2) / (x - 2) имеет уравнение y = x + 7.

3. Известно, что lim(x -> 2) f(x) = 3 и lim(x -> 2) g(x) = -1.

a) Определение непрерывности функции 3f(x) + g(x) в точке x = 2: Так как f(x) и g(x) непрерывны в точке x = 2 (пределы существуют), то их линейная комбинация также будет непрерывной в этой точке: lim(x -> 2) [3f(x) + g(x)] = 3lim(x -> 2) [f(x)] + lim(x -> 2) [g(x)] = 3*3 + (-1) = 9 - 1 = 8

Таким образом, функция 3*f(x) + g(x) непрерывна в точке x = 2.

b) Определение непрерывности функции f(x) / (g(x) + 1) в точке x = 2: Так как f(x) и g(x) непрерывны в точке x =