Question

Задача Ограничить канавой с трех сторон прямоугольный кусок земли площадью 3042 m2. какие должны быть стороны для получения наикратчайшей канавы? Ответ:сторона а-? сторона б-?

Answer 1

Примем 2 стороны по а и одну по в. Так как площадь равна 3042 м², то сторона в = 3042/а.

Периметр равен Р = 2а + (3042/а) = (2а² + 3042)/а.

Найдём производную этой функции.

y' = (2a² - 3042)/a².

Приравняем нулю числитель.

2a² - 3042 = 0.

а = √(3042/2) = √1521 = 39 м.

в = 3042/39 = 78 м.

Answer 2

Для определения наикратчайшей канавы, ограничивающей прямоугольный кусок земли площадью 3042 м², нам необходимо найти такие стороны a и b, которые минимизируют периметр прямоугольника.

Площадь прямоугольника можно выразить как произведение его сторон: S = a * b. По условию, дано, что S = 3042 м².

Периметр прямоугольника равен двойной сумме его сторон: P = 2a + 2b.

Мы хотим найти такие значения a и b, чтобы минимизировать P. Для этого можно воспользоваться неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

P/2 = a + b ≥ 2√(ab)

Зная, что S = 3042 м², можем выразить одну из сторон через другую:

b = S/a = 3042/a

Теперь подставим это значение в неравенство:

P/2 = a + 3042/a ≥ 2√(a * 3042/a) = 2√3042

Упростим выражение:

a + 3042/a ≥ 2√3042

Умножим обе части неравенства на a:

a² + 3042 ≥ 2a√3042

Перенесем все члены в одну сторону:

a² - 2a√3042 + 3042 ≥ 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Дискриминант равен:

D = (-2√3042)² - 4(1)(3042) = 12168 - 12168 = 0

Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение. Найдем его:

a = -(-2√3042) / (2 * 1) = 2√3042 / 2 = √3042

Таким образом, чтобы получить наикратчайшую канаву, сторона а должна быть равна √3042 м, а сторона b будет:

b = 3042 / a = 3042 / √3042 = √3042

Ответ: сторона a = √3042 м, сторона b = √3042 м.