Question

P(x)=x^4+x^3+2x^2-x-3 на множители. найдите целые корни

Answer 1

Ответ:3x^6

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти целые корни многочлена P(x) = x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3, можно воспользоваться методом подстановки, проверяя возможные значения целых чисел. Целый корень (целое значение x, при котором P(x) = 0) будет делителем свободного члена (-3) деленного на коэффициент перед старшей степенью (1). Таким образом, возможные целые корни будут: ±1, ±3.

1. Подставим x = 1: P(1) = 1^4 + 1^3 + 2*1^2 - 1 - 3 = 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0

Таким образом, x = 1 является целым корнем многочлена.

2. Подставим x = -1: P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 2*(-1)^2 - (-1) - 3 = 1 - 1 + 2 + 1 - 3 = 0

Таким образом, x = -1 является целым корнем многочлена.

Теперь нам необходимо разложить многочлен на линейные множители, зная, что x = 1 и x = -1 являются его корнями.

Следовательно, многочлен P(x) можно разложить следующим образом:

P(x) = (x - 1)(x + 1)(ax^2 + bx + c)

где a, b и c - коэффициенты квадратного многочлена ax^2 + bx + c, который нужно найти.

Для нахождения коэффициентов a, b и c, можно воспользоваться методом деления многочленов или системой уравнений, подставляя значения x = 1 и x = -1 в разложение и решая систему:

1. Подставим x = 1:

P(1) = (1 - 1)(1 + 1)(a1^2 + b1 + c) = 0 0 = 0(a + b + c)

2. Подставим x = -1:

P(-1) = (-1 - 1)(-1 + 1)(a*(-1)^2 + b*(-1) + c) = 0 0 = -4(a - b + c)

Из первого уравнения следует, что a + b + c = 0. Из второго уравнения следует, что a - b + c = 0.

Теперь решим систему уравнений:

a + b + c = 0 a - b + c = 0

Вычитаем второе уравнение из первого:

2b = 0

Таким образом, b = 0.

Подставим b = 0 в любое из первых уравнений:

a + 0 + c = 0 a + c = 0 a = -c

Теперь у нас есть связь между a и c. Можно выбрать произвольное значение для c, например, c = 1:

a = -1, c = 1, b = 0

Таким образом, многочлен P(x) разлагается на множители следующим образом:

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - 1)

Видно, что полученные множители x - 1 и x + 1 уже совпадают с найденными целыми корнями. Оставшийся квадратный множитель x^2 - 1 тоже можно разложить:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Итак, полное разложение многочлена P(x) на множители:

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)

Таким образом, многочлен P(x) разлагается на множители (x - 1) и (x + 1) с кратностью 2 каждый.