Question

1. Один раз бросается игральная кость. Событие А заключается в том, что число выпавших очков меньше четырёх. Событие В - число выпавших очков окажется простым числом. Найдите вероятность того, что на игральной кости: А) выпадет число очков меньше четырех; Б) число выпавших очков окажется простым числом; В) число выпавших очков просто число и меньше четырех; Г) число выпавших очков окажется составные число, при том что выпало не менее четырёх очков. 2. Из урны с белыми, чёрными и синими шарами извлекается один шар. Событие А означает появление белого шара, событие В - появление чёрного шара. Что означает событие: А) АВ (над ними черточки сверху); Б) А+В 3. В урне находится 5 белых шаров, 3 шара чёрные, 2 в полоску и 7 в клетку. Какова вероятность того, что из урны будет извлечение наугад одноцветный шар? 4. Один раз бросают игральную косьь. Событие А - чётное число, событие В - число кратно 3, событие С - не чётное число, событие D - простое число. Найдите: А) Р(А), Р(В), Р(С), Р(D) с чертой сверху; Б) Р(АВ) у В черта, Р(CD), P(AD), P(BD) ; В) P(A+B) у В черта, P(C+D), P(A+D), P(B+D) Г) P(B/A) у А черта, P(C/D), P(D/A), P(D/B).

Answer 1

№ 1

Один раз бросается игральная кость. Событие А заключается в том, что число выпавших очков меньше четырёх. Событие В - число выпавших очков окажется простым числом. Найдите вероятность того, что на игральной кости:

А) выпадет число очков меньше четырех

P= 3/6 = 1/2 = 0.5

Б) число выпавших очков окажется простым числом

Простое число - число имеющее ровно 2 делителя: единицу и самого себя.

От 1 до 6 три таких числа: 2; 3 и 5. Тогда:

P= 3/6 = 1/2 = 0.5

В) число выпавших очков простое число и меньше четырех;

Таких чисел - всего два: 2 и 3 (5 больше 4)

P= 2/6 = 1/3

Г) число выпавших очков окажется составные число, при том что выпало не менее четырёх очков.

Составное число - число, не являющееся простым. При условии, что это число не меньше 4, получим всего два числа: 4 и 6.

P= 2/6 = 1/3

№ 2

Из урны с белыми, чёрными и синими шарами извлекается один шар. Событие А означает появление белого шара, событие В - появление чёрного шара. Что означает событие:

А) АВ (над ними черточки сверху);

Черта над вероятностью события, означает, вероятность, события, противоположное, для А. т.е вероятность события А можно будет записать как: 1 - А, как и для В. Тогда:

(АВ) с чертой = (1 - А)(1 - В)

Б) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) , т.к, события совместные.

№ 3

В урне находится 5 белых шаров, 3 шара чёрные, 2 в полоску и 7 в клетку. Какова вероятность того, что из урны будет извлечение наугад одноцветный шар?

Одноцветных шаров у нас 8: 5 белых и 3 черных. Всего шаров - 17. Найдем вероятность извлечения одноцветного:

P = 8/17

№ 4

Один раз бросают игральную кость. Событие А - чётное число, событие В - число кратно 3, событие С - не чётное число, событие D - простое число. Найдите:

А) Р(А), Р(В), Р(С), Р(D) с чертой сверху;

Для начала найдем просто  Р(А), Р(В), Р(С), Р(D):

Р(А) = 3/6 = 0,5

Р(В) = 2/6 = 1/3

Р(С) = 3/6 = 0,5

Р(D) = 3/6 = 0,5

_______________

Черта над вероятностью события, означает, вероятность, события, противоположное, для А. Тогда:

Р(А) с чертой = 1 - 0,5 = 0,5

Р(В) с чертой = 1 - 1/3 = 2/3

Р(С) с чертой = 1 - 0,5 = 0,5

Р(D) с чертой = 1 - 0,5 = 0,5

Б) Р(АВ) у В черта, Р(CD), P(AD), P(BD)

Р(АВ) у В черта = 2/3 * 0,5 = 1/3

Р(CD) = 1/3

P(AD) = 1/6

P(BD) = 1/6

В) P(A+B) у В черта, P(C+D), P(A+D), P(B+D)

P(A+B) у В черта = Р(А) + Р(В)с чертой - Р(АВ с чертой) = 0,5 * 2/3 * 1/3 = 1/9

P(C+D) = Р(С) + Р(D) - Р(CD) = 0.5 + 0.5 - 1/3 = 2/3

P(A+D) = Р(А) + Р(D) - Р(AD) = 0.5 + 0.5 - 1/6 = 5/6

P(B+D) = Р(В) + Р(D) - Р(ВD) = 1/3 + 0,5 - 1/6 = 2/3

Г) P(B/A) у А черта, P(C/D), P(D/A), P(D/B).

P(B/A) у А черта = H(А черта*В)/P(А) черта = 1/6 : 0,5 = 1/12

P(C/D) = P(CD)/P(D) = 2/3

P(D/A) = P(DA)/P(A) = 1/3

P(D/B) = P(DB)/P(B) = 0.5

Answer 2

Для решения задач по вероятности, нам понадобятся некоторые основные определения:

• Вероятность события A, обозначаемая P(A), - это число от 0 до 1, которое показывает, насколько вероятно произойдет событие A. Если P(A) = 1, это означает, что событие A обязательно произойдет, а если P(A) = 0, это означает, что событие A не произойдет.
• Для событий A и B вероятность их одновременного происхождения обозначается P(A и B) или P(AB).
• Для событий A и B вероятность их совместного возникновения обозначается P(A и/или B), что означает вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий A или B.

Теперь рассмотрим каждую задачу по очереди:

1. Игральная кость имеет 6 граней, на которых могут выпасть числа от 1 до 6.

   А) Событие А - выпадение числа меньше 4 (то есть 1, 2 или 3). Вероятность события А: P(A) = 3/6 = 1/2.

   Б) Событие В - выпадение простого числа (то есть 2, 3 или 5). Вероятность события В: P(B) = 3/6 = 1/2.

   В) Событие А и В - выпадение простого числа, которое меньше 4 (только число 2 или 3). Вероятность события А и В: P(A и В) = 2/6 = 1/3.

   Г) Событие С - выпадение числа, нечетного и не менее 4 (то есть 5). Вероятность события С: P(C) = 1/6.

2. Урна содержит белые, черные и синие шары.

   А) Событие А - появление белого шара. Б) Событие В - появление черного шара.

   АВ (над ними черточки сверху) - появление одновременно белого и черного шара. Это невозможное событие, так как шар не может быть одновременно белым и черным. Поэтому P(АВ) = 0.

   А + В - появление либо белого, либо черного шара. Это объединение событий А и В. Вероятность этого события равна сумме вероятностей появления белого и черного шара: P(А + В) = P(A) + P(B).

3. Урна содержит 5 белых, 3 черных, 2 полосатых и 7 клетчатых шаров.

   Вероятность извлечения одноцветного шара можно вычислить, разделив количество одноцветных шаров на общее количество шаров в урне: P(одноцветный шар) = (5 + 3) / (5 + 3 + 2 + 7) = 8 / 17.

4. Игральная кость имеет 6 граней, на которых могут выпасть числа от 1 до 6.

   А) Событие А - выпадение четного числа (2, 4 или 6). Вероятность события А: P(A) = 3/6 = 1/2.

   Б) Событие В - выпадение числа, кратного 3 (3 или 6). Вероятность события В: P(B) = 2/6 = 1/3.

   В) Событие С - выпадение нечетного числа (1, 3 или 5). Вероятность события С: P(C) = 3/6 = 1/2.

   Д) Событие D - выпадение простого числа (2, 3 или 5). Вероятность события D: P(D) = 3/6 = 1/2.

   АВ - выпадение числа, которое одновременно четное и кратное 3 (только число 6). Вероятность события АВ: P(АВ) = 1/6.

   CD - выпадение числа, которое одновременно нечетное и не простое (только число 1). Вероятность события CD: P(CD) = 1/6.

   AD - выпадение числа, которое одновременно четное и простое (только число 2). Вероятность события AD: P(AD) = 1/6.

   BD - выпадение числа, которое одновременно кратно 3 и простое (только число 3). Вероятность события BD: P(BD) = 1/6.

   А+В - выпадение либо четного, либо числа, кратного 3 (числа 2, 3, 4 или 6). Вероятность события А+В: P(A+В) = 4/6 = 2/3.

   C+D - выпадение либо нечетного, либо простого числа (числа 1, 2, 3, или 5). Вероятность события C+D: P(C+D) = 4/6 = 2/3.

   A+D - выпадение либо четного, либо простого числа (числа 2, 3, или 5). Вероятность события A+D: P(A+D) = 3/6 = 1