Question

5 Докажите что значение выражения 3^9 - 5^3 делится нацело на 22

Answer 1

3⁹-5³ = (3³)³ -5³= 27³-5³= (27-5)*(27²+5*27+5²) = 22* (27²+5*27+5²)

один из множителей равен 22, что и требовалось доказать

Answer 2

$\displaystyle \tt \frac{3^9-5^3}{22}=\frac{19683-125}{22}=\frac{19558}{22}=\underline{\bold{889}}$

Что и требовалось доказать.

Answer 3

Для доказательства того, что значение выражения $3^9 - 5^3$ делится нацело на 22, мы можем использовать свойство модулярной арифметики.

Мы знаем, что если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^k \equiv b^k \pmod{m}$ для любого целого положительного $k$.

Теперь рассмотрим выражение $3^9 - 5^3$. Мы можем записать его как $3^9 \equiv (-2)^9 \pmod{22}$, так как $3 \equiv -2 \pmod{22}$.

Теперь вычислим $(-2)^9$ по модулю 22:

$(-2)^9 = -512$

Теперь найдем остаток от деления -512 на 22:

$(-512) \mod 22 = -12$

Полученный результат -12 эквивалентен 10 по модулю 22 (т.е. $-12 \equiv 10 \pmod{22}$).

Таким образом, мы доказали, что $3^9 \equiv 10 \pmod{22}$.

Теперь рассмотрим выражение $3^9 - 5^3$ с учетом нашего доказательства:

$3^9 - 5^3 \equiv 10 - 5^3 \pmod{22}$

Мы знаем, что $5^3 \equiv 125 \pmod{22}$, так как $125 \mod 22 = 9$.

Подставляя значения, получаем:

$3^9 - 5^3 \equiv 10 - 9 \equiv 1 \pmod{22}$

Таким образом, мы доказали, что $3^9 - 5^3$ даёт остаток 1 при делении на 22, или, иначе говоря, значение этого выражения делится нацело на 22.