Question

Разложите на множители многочлен; a) x^2-9-3ax+9a; б)x^2+5x+4

Answer 1

а) $x^2-9-3ax+9a=(x-3)(x+3)-3a(x-3)=(x-3)(x+3-3a)$

б) $x^2+5x+4=x^2+4x+x+4=x(x+4)+x+4=(x+4)(x+1)$

Answer 2

a) Для разложения на множители многочлена $x^2 - 9 - 3ax + 9a$, нужно сначала проверить, является ли он квадратным трехчленом, который можно разложить на произведение двух линейных множителей. Если да, то получим множители, раскладывая многочлен в виде $(x + p)(x + q)$, где $p$ и $q$ - корни уравнения $x^2 - 9 - 3ax + 9a = 0$.

Начнем с уравнения: $x^2 - 9 - 3ax + 9a = 0$

Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 3ax + 9a - 9 = 0$

Теперь можно применить квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = -3a = -3$ и $c = 9a - 9 = 9(a - 1)$.

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9(a - 1)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36(a - 1)}}{2}$

Теперь найдем дискриминант: $D = 9 - 36(a - 1) = 9 - 36a + 36 = 45 - 36a$

Теперь разберемся с корнями уравнения в зависимости от значения $D$:

1. Если $D > 0$, то у уравнения есть два различных действительных корня.
2. Если $D = 0$, то у уравнения есть один действительный корень кратности 2.
3. Если $D < 0$, то у уравнения есть два комплексных корня.

a) Поскольку у нас нет дополнительной информации о $a$, давайте рассмотрим общий случай и оставим выражение в виде корня.

Когда $D > 0$, у нас есть два действительных корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{45 - 36a}}{2}$ $x_2 = \frac{3 - \sqrt{45 - 36a}}{2}$

Таким образом, многочлен $x^2 - 9 - 3ax + 9a$ разлагается на множители в виде: $x^2 - 9 - 3ax + 9a = (x - x_1)(x - x_2)$

b) Для многочлена $x^2 + 5x + 4$ разложение на множители можно выполнить следующим образом.

Мы ищем два таких числа $p$ и $q$, чтобы выполнялось: $x^2 + 5x + 4 = (x + p)(x + q)$

Мы можем предположить, что $p$ и $q$ имеют следующие формы: $x^2 + 5x + 4 = (x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в исходном многочлене и разложенном виде, мы получаем следующую систему уравнений: $p + q = 5$ $pq = 4$

Решим эту систему уравнений. Найдем значения $p$ и $q$, которые удовлетворяют условиям.

Можно заметить, что $p = 4$