Question

При каких значениях а уравнение (x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0 имеет три различных корня? (Просьба разобрать подробно се варианты)

Answer 1

Ответ:

a∉{0;±1;0,25}

Объяснение:

(x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0

Чтобы данное уравнение имело не менее трёх корней необходимо чтобы одно из уравнений

1) x² - (3a + 1)x + 2a² + a=0

2) x² + (2a - 1)x - 3a² + a=0

имело не менее одного, а второе не менее двух корней.

D₁=(-(3a + 1))² -4(2a² + a)=9a²+6a+1-8a²-4a=a²+2a+1=(a+1)²

D₂=(2a - 1)² -4(- 3a² + a)=4a² -4a+1+12a²-4a=16a²-8a+1=(4a-1)²

Очевидно,что D₁≥0 и D₂≥0.

1) D₂>0 и D₁=0⇒а=-1

x₁=(3a + 1)/2=-1

x₂,₃=(-(2a - 1)±(4a-1))/2

x₂=(-(2a - 1)+(4a-1))/2=a=-1

x₃=(-(2a - 1)-(4a-1))/2=1-3a=4

2) D₁>0 и D₂=0 ⇒а=0,25

x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2=(1,75±1,25)/2

x₁,₂=(1,75-1,25)/2=0,25

x₁,₂=(1,75+1,25)/2=1,5

x₃=-(2a - 1)/2=0,25

3) D₁>0 и D₂>0

x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2-два разных корня, x₃,₄=(-(2a - 1)±(4a-1))/2-два разных корня.

Теперь же нужно разобрать случай равенства одного из двух корней x₁,₂ с одним из двух корней x₃,₄

1)  ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2

4a+2=2a

a=1

2) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2

4a+2=-6a+2

a=0

3) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2

2a=2a

∀a

4) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2

2a=-6a+2

a=0,25

В итоге можно сказать, что уравнение имеет не более трёх различных корней. Получается оно имеет ровно три различных корня при выполнении след. условий.

a∉{0;±1;0,25}

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело три различных корня, дискриминант каждого из двух квадратных уравнений в скобках должен быть положительным, потому что когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, а когда дискриминант отрицателен, уравнение имеет два комплексных корня.

Итак, давайте разберемся с каждым уравнением в скобках:

1. Уравнение: x² - (3a + 1)x + 2a² + a

Дискриминант квадратного уравнения вида ax² + bx + c равен D = b² - 4ac. В нашем случае, a = 1, b = -(3a + 1), c = 2a² + a.

Дискриминант этого уравнения будет равен:

D₁ = (-(3a + 1))² - 4 * 1 * (2a² + a) D₁ = (9a² + 6a + 1) - 8a² - 4a D₁ = 9a² + 6a + 1 - 8a² - 4a D₁ = a² + 2a + 1

2. Уравнение: x² + (2a - 1)x - 3a² + a

Дискриминант этого уравнения будет равен:

D₂ = (2a - 1)² - 4 * 1 * (-3a² + a) D₂ = (4a² - 4a + 1) + 12a² - 4a D₂ = 4a² - 4a + 1 + 12a² - 4a D₂ = 16a² - 8a + 1

Теперь, чтобы оба дискриминанта были положительными, нужно выполнить два условия:

1. D₁ > 0
2. D₂ > 0

Поставим эти условия:

1. a² + 2a + 1 > 0
2. 16a² - 8a + 1 > 0

Давайте решим каждое из условий:

1. a² + 2a + 1 > 0

Это уравнение имеет одинаковые корни a = -1. При a ≠ -1 выполняется условие D₁ > 0, так как квадратный трехчлен с положительным коэффициентом перед квадратом всегда положителен, и у нас есть один различный корень.

2. 16a² - 8a + 1 > 0

Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант равен отрицательному числу (D₂ < 0). Это означает, что независимо от значения a, уравнение имеет два комплексных корня.

Таким образом, уравнение имеет три различных корня только в одном случае: когда a = -1.