Question

Сума потроєного другого і четвертого членів арифметичної прогресії дорівнює 12. Визнач, при якому значенні різниці прогресії добуток третього і п'ятого членів прогресії буде найменший. Відповідь: різниця прогресії: d= У розв'язанні завдання використовувалися формули (запиши відсутні числа): 1. a1= − d; 2. f(d)= + d+ d2

Answer 1

.........................

Answer 2

Давайте спершу розкриємо, що має на увазі вихідне рівняння "Сума потроєного другого і четвертого членів арифметичної прогресії дорівнює 12".

Записавши формули для другого і четвертого членів арифметичної прогресії, маємо:

другий член: a_2 = a_1 + d четвертий член: a_4 = a_1 + 3d

де a_1 - перший член прогресії, d - різниця прогресії.

Задано, що сума потроєного другого і четвертого членів дорівнює 12:

3a_2 + a_4 = 12

Підставимо вирази для a_2 і a_4:

3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 12

Спростимо рівняння:

3a_1 + 3d + a_1 + 3d = 12 4a_1 + 6d = 12 a_1 + 3d = 3

Тепер ми маємо систему з двох рівнянь:

1. a_1 + 3d = 3
2. f(d) = a_3 * a_5 = (a_1 + 2d) * (a_1 + 4d) = a_1^2 + 6a_1d + 8d^2

Задача полягає в знаходженні такого значення d, при якому добуток третього і п'ятого членів прогресії буде найменшим. Для цього спершу виразимо a_1 з першого рівняння:

a_1 = 3 - 3d

Тепер підставимо це значення a_1 в другий вираз (f(d)):

f(d) = (3 - 3d)^2 + 6(3 - 3d)d + 8d^2

Тепер спростимо цю функцію f(d):

f(d) = 9 - 18d + 9d^2 + 18d - 18d^2 + 8d^2 f(d) = 9 - d^2

Тепер маємо функцію f(d) = 9 - d^2, яку ми хочемо мінімізувати. Щоб знайти мінімальне значення f(d), потрібно знайти критичні точки, де похідна функції дорівнює нулю.

df/d(d) = -2d

Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичну точку:

-2d = 0 d = 0

Тепер ми маємо критичну точку при d = 0. Щоб переконатися, що це дійсно мінімальне значення, можемо проаналізувати знак похідної на інтервалах. Значення функції залежать від знаку другої похідної.

d^2f/d(d)^2 = -2

Це завжди від'ємне значення, що підтверджує, що це точка мінімуму.

Отже, відповідь: різниця прогресії d = 0 для досягнення мінімального значення добутку третього і п'ятого членів прогресії.