Question

Даю 59 балоооов Знайдіть кількість членів арифметичної прогресії, сума всіх членів якої дорівнює 168, добуток другого члена та різниці прогресії дорівнює 72, а сума третього і п`ятого членів дорівнює 48. Написати три перших члени прогресії (Вказати лише цілі числа) *********** 2 Сума третього і дев`ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 114. Знайти суму 11 перших членів прогресії. *********** 3 Знайдіть чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, третій член якої більший від першого на 504, а другий більший від четвертого на 2520. *********** 4 Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо від третього відняти 4, то числа утворять арифметичну прогресію. Якщо ж від другого та третього відняти 10 та 11 відповідно, то знову утвориться геометрична прогресія. Знайти ці числа. (Вказати лише цілі числа) *********** 5 Знайти чотири числа, перші три з яких утворюють геометричну прогресію, а останні три - арифметичну прогресію. Сума крайніх чисел дорівнює 322, сума середніх 276. (Вказати лише цілі числа) *********** 6 Знайдіть суму 19 перших членів арифметичної прогресії а1, а2, а3,..., якщо відомо, що а4+а8+а12+а16=708.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1.  Sn=168    n=?

{a₃+a₅=48         {a₁+2d+a₁+4d=48     {2a₁+6d=48 |÷2     {a₁+3d=24

(a₁+d)*d=72       {a₁+d=72/d               {a₁=(72/d)-d            {(72/d)-d+3d=24

(72/d)+2d=24  |÷2

(36/d)+d=12

(36/d)+d-12=0

d²-12d+36=0

(d-6)²=0

d-6=0

d=6.   ⇒

a₁+3*6=24

a₁+18=24

a₁=6.

Sn=(2*a₁+(n-1)*d)*n/2=(2*6+(n-1)*6)*n/2=(12+6n-6)*n/2=(6+6n)*n/2=

=(3+3n)*n=3n²+3n=168.

3n²+3n-168=0  |÷3

n²+n-56=0    D=225    √D=15

n₁=-8  ∉      n₂=7.

Ответ: n=7.      6; 12; 18.

2.  a₃+a₉=114

a₁+2d+a₁+8d=114

a₁+a₁+10d=114

a₁+a₁₁=114.

S₁₁=(a₁+a₁₁)*11/2=114*11/2=57*11=627.

Ответ: S₁₁=627.

3. b₃-b₁=504      b₂-b₄=2520

{b₁q²-b₁=504         {b₁*(q²-1)=504            {b₁*(q²-1)=504  

{b₁q-b₁q³=2520    {b₁q*(1-q²)=2520        {b₁q*(q²-1)=-2520

Разделим второе уравнение на первое:

q=-5.   ⇒

b₁*((-5)²-1)=504

b₁*(25-1)=504

24*b₁=504  |÷24

b₁=21.

Ответ: 21; -105; 525; -2625.

6.

a₄+a₈+a₁₂+a₁₆=708

a₁+3d+a₁+7d+a₁+11d+a₁+15d=708  

4*a₁+36d=708 |÷2

2*a₁+18d=354

a₁+a₁+18d=354

a₁+a₁₉=354

S₁₉=(a₁+a₁₉)*19/2=354*19/2=177*19=3363.

Ответ: S₁₉=3363.

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання окремо.

Завдання 1: Позначимо перший член прогресії як a, а різницю між членами як d. Тоді маємо систему рівнянь:

1. a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd) = 168 (сума членів прогресії)
2. (a + d) * d = 72 (добуток другого члена та різниці)
3. (a + 2d) + (a + 4d) = 48 (сума третього і п'ятого членів)

Розв'яжемо цю систему рівнянь.

З рівняння 2 отримуємо ad + d^2 = 72, або d(a + d) = 72.

З рівняння 3 отримуємо 2a + 6d = 48, або a + 3d = 24.

Підставимо значення a + 3d з рівняння 3 у рівняння 2: (a + 3d)(a + d) = 72 (24)(a + d) = 72 24a + 24d = 72 a + d = 3

Тепер маємо систему рівнянь:

1. a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd) = 168
2. a + d = 3

З рівняння 2 знаходимо a = 3 - d.

Підставимо це значення в рівняння 1: (3 - d) + (3 - d + d) + (3 - d + 2d) + ... + (3 - d + nd) = 168 3n - nd + (1 + 2 + ... + n)d = 168

Сума перших n натуральних чисел дорівнює (n * (n + 1)) / 2.

Отже, 3n - nd + (n * (n + 1) / 2)d = 168 6n - 2nd + nd^2 + nd = 336 n(6 + d) + nd^2 = 336

Ми маємо деякі обмеження на d і n з умови задачі (наприклад, d(a + d) = 72, a + d = 3, то ж можна розглянути значення d і n у цьому контексті).

Давайте перейдемо до наступного завдання.