Question

Решите уравнения: (x-2)^2+(x-3)^2=2x^2 5+2x=11-7(x-2) 8+3(2x-6)=9 (-5x-3)(2x-1)=0 (x-6)(4x-6)=0

Answer 1

1)

$\displaystyle \tt (x-2)^2+(x-3)^2=2x^2\\\displaystyle \tt x^2-4x+4+x^2-6x+9=2x^2\\\displaystyle \tt 2x^2-10x+13=2x^2\\\displaystyle \tt -10x+13=0\\\displaystyle \tt -10x=-13\\\displaystyle \tt x=-13\div(-10)\\\displaystyle \tt \bold{x=1,3}$

2)

$\displaystyle \tt 5+2x=11-7(x-2)\\\displaystyle \tt 5+2x=11-7x+14\\\displaystyle \tt 5+2x=25-7x\\\displaystyle \tt 2x+7x=25-5\\\displaystyle \tt 9x=20\\\displaystyle \tt x=20\div9\\\\ \displaystyle \tt \bold{x=2\frac{2}{9}}$

3)

$\displaystyle \tt 8+3(2x-6)=9\\\displaystyle \tt 8+6x-18=9\\\displaystyle \tt 6x-10=9\\\displaystyle \tt 6x=9+10\\\displaystyle \tt 6x=19\\\displaystyle \tt x=19\cdot6\\\\ \displaystyle \tt \bold{x=3\frac{1}{6}}$

4)

$\displaystyle \tt (-5x-3)(2x-1)=0\\\\ \displaystyle \tt -5x-3=0\\\displaystyle \tt -5x=3\\\displaystyle \tt x=3\div(-5)\\\displaystyle \tt \bold{x_1=-0,6}\\\\\displaystyle \tt 2x-1=0\\\displaystyle \tt 2x=1\\\displaystyle \tt x=1\div2\\\displaystyle \tt \bold{x_2=0,5}$

5)

$\displaystyle \tt (x-6)(4x-6)=0\\\\ \displaystyle \tt x-6=0\\\displaystyle \tt \bold{x_1=6}\\\\ \displaystyle \tt 4x-6=0\\\displaystyle \tt 4x=6\\\displaystyle \tt x=6\div4\\\displaystyle \tt \bold{x_2=1,5}$

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по порядку:

1. (x-2)^2 + (x-3)^2 = 2x^2

Раскроем скобки и упростим:

x^2 - 4x + 4 + x^2 - 6x + 9 = 2x^2

Теперь соберем все члены с x^2 на одной стороне уравнения, а все свободные члены на другой:

2x^2 - 10x + 13 = 0

Данное уравнение квадратное. Мы можем решить его, используя квадратную формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = -10, c = 13.

Вычислим дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 2 * 13 = 100 - 104 = -4

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней. Значит, решений в действительных числах нет.

2. 5 + 2x = 11 - 7(x-2)

Раскроем скобки:

5 + 2x = 11 - 7x + 14

Теперь соберем все члены с x слева, а свободные члены справа:

2x + 7x = 11 + 14 - 5

9x = 20

Теперь разделим обе стороны на 9:

x = 20 / 9

3. 8 + 3(2x-6) = 9

Раскроем скобки:

8 + 6x - 18 = 9

Теперь соберем все члены с x слева, а свободные члены справа:

6x - 10 = 9

Теперь добавим 10 к обеим сторонам:

6x = 19

И, наконец, разделим обе стороны на 6:

x = 19 / 6

4. (-5x-3)(2x-1) = 0

Чтобы произведение двух множителей было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

1. -5x - 3 = 0 -5x = 3 x = -3/5

2. 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = -3/5 и x = 1/2.

5. (x-6)(4x-6) = 0

Аналогично, чтобы произведение двух множителей было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

1. x - 6 = 0 x = 6

2. 4x - 6 = 0 4x = 6 x = 6 / 4 x = 3/2

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 6 и x = 3/2.