Question

Найдите наибольшее значение функции y=x³-2,5x²-2x+6 на отрезке [0;4]

Answer 1

Ответ:

22

Объяснение:

1. Чтобы найти наибольшее значение функции, возьмем производную от этой функции и приравняем ее к нулю (т.к. минимумы и максимумы функции находятся в точках, где производная равна 0)

y' = 3x²-5x - 2 = 0

2. Решаем это квадратное уравнение:

D = 49

x_1 =( 5 -7 ) / 6 = -1/3 (не подходит, точка не принадлежит указанному промежутку).

x_2 = (5 + 7) / 6 = 2, принадлежит промежутку.

3. Находим значение функции в точке x = 2

y (x = 2) = 2³-2.5*2²-2*2+6 = 8 - 10 - 4 + 6 = 14 - 14 = 0

4. ВНИМАНИЕ: наибольшее значение может достигаться на краях промежутка , обязательно проверяем края

y (x = 0) = 0 - 2.5 * 0 - 2* 0 + 6 = 6

y (x = 4) = 4³ - 2.5 * 4² - 2*4 + 6 = 64 - 40 - 8 + 6 = 22

Итого, самое большое значение равно 22 и достигается в точке x = 4

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $y = x^3 - 2.5x^2 - 2x + 6$ на отрезке [0;4], мы можем воспользоваться методом поиска экстремумов. Сначала найдем критические точки функции в данном интервале, а затем проверим значения функции в этих точках, а также на границах отрезка [0;4].

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = 3x^2 - 5x - 2.$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для поиска критических точек: $3x^2 - 5x - 2 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить, используя дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49.$ $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}.$

Таким образом, получаем две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

3. Теперь найдем значения функции $y$ в критических точках и на границах отрезка [0;4]:

• $y(0) = 6$,
• $y(2) = 2^3 - 2.5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 6 = -2$,
• $y(4) = 4^3 - 2.5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 6 = 10$,
• $y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 2.5 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 6 \approx 7.04$.

Наибольшее значение находится в точке $x = 4$, где $y = 10$. Таким образом, наибольшее значение функции $y = x^3 - 2.5x^2 - 2x + 6$ на отрезке [0;4] равно 10.