Question

Решить квадратное неравенство с помощью графика: 1) x^2-3x-4>=0 2) -x^2+3x+4>=0 3) 4x^2-4x+1>=0 4) 3x^2-5x-2>0 Все решения должны быть.

Answer 1

$1)\; \; x^2-3x-4\geq 0$    парабола, точки пересечения с ОХ - (-1,0) и (4,0), вершина в точке (1,5 ; -6,25) . Рис. 1 .

$x\in (-\infty ;-1\, ]\cup [\, 4\, ;\, +\infty )$

$2)\; \; -x^2+3x+4\geq 0\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x^2-3x-4\leq 0$

Та же парабола. Рис. 2 .   $x\in [-1\, ;\, 4\; ]\; .$

$3)\; \; 4x^2-4x+1\geq 0\; \; \; \Rightarrow \; \; \; (2x-1)^2\geq 0$

Парабола касается оси ОХ в вершине, точке (1/2 ; 0) . Неравенство выполняется при всех действительных значениях переменной   $x\in (\, -\infty \, ;+\infty \, )\; .$

$4)\; \; 3x^2-5x-2>0\\\\3x^2-5x-2=0\; \; ,\; \; D=49\; \; ,\; \; x_1=-\frac{1}{3}\; ,\; \; x_2=2$

Парабола проходит через точки (-1/3;0) , (2;0) , (0,-2) .

$x\in (-\infty ;-\frac{1}{3})\cup (\, 2;+\infty )$

Answer 2

Для решения квадратных неравенств с помощью графика мы должны найти области, в которых квадратное уравнение положительное или неположительное. Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. $x^2 - 3x - 4 \geq 0$:

Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$: $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0$.

Корни: $x = 4$ и $x = -1$.

Теперь мы знаем, что это уравнение равно нулю при $x = 4$ и $x = -1$, так что теперь нам нужно определить, где оно положительно и неположительно. Для этого мы можем построить график:

cssCopy code
           +------o-------------------o------+
           -1     0                   4

Уравнение $x^2 - 3x - 4$ положительно между корнями $x = -1$ и $x = 4$, так что решение неравенства - это интервал $(-1, 4]$.

2. $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$:

Найдем корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$: $-x^2 + 3x + 4 = -(x - 4)(x + 1) = 0$.

Корни: $x = 4$ и $x = -1$.

График:

cssCopy code
           -o-------------------o------+
           -1     0                   4

Уравнение $-x^2 + 3x + 4$ положительно до корня $x = -1$ и после корня $x = 4$, так что решение неравенства - это объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$.

3. $4x^2 - 4x + 1 \geq 0$:

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = -12$ отрицателен. Таким образом, уравнение всегда положительно.

График:

cssCopy code
           +-------------------o------+
           -∞                           ∞

Решение неравенства - это весь диапазон действительных чисел: $(-\infty, +\infty)$.

4. $3x^2 - 5x - 2 > 0$:

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$: $3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2) = 0$.

Корни: $x = -\frac{1}{3}$ и $x = 2$.

График:

cssCopy code
           -o-------------------o------+
           -1/3   0                   2

Уравнение $3x^2 - 5x - 2$ положительно между корнями $x = -\frac{1}{3}$ и $x = 2$, так что решение неравенства - это интервал $(-\frac{1}{3}, 2)$.

Таким образом, решения квадратных неравенств:

1. $x^2 - 3x - 4 \geq 0$ - интервал $(-1, 4]$.
2. $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ - объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$.
3. $4x^2 - 4x + 1 \geq 0$ - весь диапазон $(-\infty, +\infty)$.
4. $3x^2 - 5x - 2 > 0$ - интервал $(-\frac{1}{3}, 2)$.