Question

Помогите решить дифференциальные уравнения 2 порядка y''-5y'+6y=x y(0)=0 y'(0)=1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы можем использовать метод вариации постоянных. Давайте приступим к решению:

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Уравнение без правой части будет выглядеть следующим образом: y'' - 5y' + 6y = 0

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид: r^2 - 5r + 6 = 0

Мы решаем это квадратное уравнение и находим два корня: r1 = 2 и r2 = 3.

Таким образом, общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C1 * e^(2x) + C2 * e^(3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, мы предположим, что решение имеет вид: y_p(x) = A * x + B

Здесь A и B - некоторые неизвестные коэффициенты, которые нужно определить.

Подставляем это предположение в исходное уравнение: y_p'' - 5y_p' + 6y_p = A * (2 - 5) + 6 * (A * x + B) = -3A + 6Ax + 6B

Таким образом, у нас получается следующее уравнение: -3A + 6Ax + 6B = x

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, мы получаем два уравнения: 6A = 0 (коэффициент при x) -3A + 6B = 1 (свободный член)

Из первого уравнения следует, что A = 0.

Подставляем A = 0 во второе уравнение: -3 * 0 + 6B = 1 6B = 1 B = 1/6

Таким образом, частное решение: y_p(x) = (1/6) * x

Шаг 3: Найдем частное решение исходного уравнения

Общее решение исходного уравнения будет состоять из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1 * e^(2x) + C2 * e^(3x) + (1/6) * x

Шаг 4: Используя начальные условия, найдем значения постоянных

y(0) = C1 * e^(20) + C2 * e^(30) + (1/6) * 0 = C1 + C2 = 0

y'(0) = 2C1 * e^(20) + 3C2 * e^(30) + 1/6 = 2C1 + 3C2 = 1

Решая систему уравнений C1 + C2 = 0 и 2C1 + 3C2 = 1, мы найдем значения постоянных: C1 = 1/2 и C2 = -1/2

Итак, окончательное решение исходного дифференциального уравнения: y(x) = (1/2) * e^(2x) - (1/2) * e^(3x) + (1/6) * x