Question

Вычислить интеграл: ∫dx/∛2-5x

Answer 1

$\int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{2-5x}}=-\dfrac{1}{5}\int \dfrac{d(2-5x)}{(2-5x)^{1/3}}=-\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{(2-5x)^{2/3}}{2/3}+C=\\\\\\=-\dfrac{3}{10}\, \sqrt[3]{(2-5x)^2}+C=-0,3\cdot \sqrt[3]{(2-5x)^2}+C$

Answer 2

воспользуюсь заменой у=2-5х, но прежде подведу под знак дифференциала (2-5х).

∫dx/∛(2-5x)=(-1/5)∫d(2-5х)/∛(2-5x)=(-1/5)∫у⁻¹ /³dу=(-1/5)*у²/³*(3/2)+с=

-0.3∛у²+с=-0.3∛(2-5х)²+с

проверка (-0.3∛(2-5х)²+с)'=-0.3*(2/3)(2-5х)⁻¹/³*(-5)=1/(2-5х)¹/³=1/∛(2-5х) -верно.

Answer 3

Для вычисления данного интеграла, вам потребуется использовать метод подстановки. Начнем с подстановки:

Положим $u = 2 - 5x$, тогда $du = -5dx$ и $dx = -\frac{du}{5}$.

Интеграл примет вид:

$$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{2 - 5x}} = -\frac{1}{5} \int \frac{du}{\sqrt[3]{u}}.$$

Теперь вычислим интеграл от $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$:

$$-\frac{1}{5} \int \frac{du}{\sqrt[3]{u}} = -\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{10} u^{\frac{2}{3}} + C,$$

где $C$ — постоянная интегрирования.

Наконец, подставим обратно $u = 2 - 5x$:

$$-\frac{3}{10} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{10} (2 - 5x)^{\frac{2}{3}} + C.$$

Итак, окончательный результат:

$$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{2 - 5x}} = -\frac{3}{10} (2 - 5x)^{\frac{2}{3}} + C.$$