Question

Вычислите: (sin5α-sinα)/(sin5αcos3α-cos5αsin3α) 

Answer 1

$\dfrac{\sin5\alpha -\sin\alpha }{\sin5\alpha \cos3\alpha -\cos5\alpha \sin3\alpha }=\dfrac{2\sin\frac{5\alpha-\alpha }{2} \cos\frac{5\alpha+\alpha }{2} }{\sin(5\alpha-3\alpha) }=\dfrac{2\sin2\alpha \cos3\alpha }{\sin2\alpha }=2\cos3\alpha$

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением:

(sin5α - sinα) / (sin5α cos3α - cos5α sin3α)

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить числитель и знаменатель. Начнем с числителя:

sin5α - sinα = sin(5α - α) = sin(4α)

А теперь знаменатель:

sin5α cos3α - cos5α sin3α = sin(5α) cos(3α) - cos(5α) sin(3α)

Используем формулу для разности синусов:

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ

Применим ее к нашему знаменателю (α = 5α, β = 3α):

sin(5α - 3α) = sin(2α)

Теперь наше выражение принимает вид:

sin(4α) / sin(2α)

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой:

sin(2θ) = 2sinθcosθ

Применим это к знаменателю:

sin(4α) / (2sin(α)cos(α))

Теперь мы видим, что sin(α) и cos(α) сокращаются:

(2sin(α)cos(α)) / (2sin(α)cos(α)) = 1

Итак, ответ на выражение (sin5α - sinα) / (sin5α cos3α - cos5α sin3α) равен 1.