Question

Решить уравнение y'=(4x³+3) cos²y

Answer 1

$y'=(4x^3+3)cos^2y$ - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные

$\frac{dy}{dx}=(4x^3+3) cos^2y\\\frac{dy}{cos^2y}=(4x^3+3)dx$

Интегрируем обе части последнего равенства

$\int\frac{dy}{cos^2y}=\int(4x^3+3)dx\\ tgy=\frac{4x^4}{4}+3x+C\\ tgy=x^4+3x+C$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y' = (4x³ + 3)cos²(y)

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться методом разделяющихся переменных. Для этого давайте разделим переменные, переместив всё, связанное с y, на одну сторону уравнения, а всё, связанное с x, на другую:

dy / cos²(y) = (4x³ + 3) dx

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(1 / cos²(y)) dy = ∫(4x³ + 3) dx

Интеграл ∫(1 / cos²(y)) dy может быть рассчитан как:

∫(1 / cos²(y)) dy = ∫sec²(y) dy = tan(y) + C₁

Интеграл ∫(4x³ + 3) dx:

∫(4x³ + 3) dx = x⁴ + 3x + C₂

Теперь мы имеем:

tan(y) + C₁ = x⁴ + 3x + C₂

Где C₁ и C₂ - произвольные постоянные интегрирования.

Чтобы выразить y, нужно взять обратную тангенцию от обеих сторон уравнения:

y = arctan(x⁴ + 3x + C₂ - C₁)

Обратите внимание, что C = C₂ - C₁ также будет произвольной постоянной. Таким образом, окончательное решение уравнения будет:

y = arctan(x⁴ + 3x + C)

Где C - произвольная постоянная.