Question

ПОМОГИТЕ С ЗАДАЧЕЙ ПО МАТЕМАТИКЕ закрытый металлический бак с квадратным дном должен вмещать 48 литров воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшьее количество материалов

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Объем бака V = abh = 48 л.

Дно должно быть квадратным, поэтому a = b, тогда объем V = a^2*h = 48 л.

Отсюда h = 48/a^2

Площадь поверхности, то есть площадь жести, будет равна

S = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a*48/a^2 = 2a^2 + 192/a

В начале стоит 2а^2, потому что квадратное не только дно, но и крышка бака.

Эту площадь как раз и нужно минимизировать.

Найдем ее производную и приравняем к 0.

S' = 4a - 192/a^2 = (4a^3 - 192)/a^2 = 0

4a^3 - 192 = 0

a^3 - 48 = 0

a^3 = 48

a = корень кубический из 48 = 2*кор.куб(6)

h = 48/a^2 = 48/(4*кор.куб(36)) = 12/кор.куб(36)

Лучше бы дали объем 27 или 64 л, тогда числа получились бы целые.

Answer 2

Давайте обозначим сторону квадратного дна бака через $x$, а его высоту через $h$.

Объем бака можно выразить как произведение площади квадратного дна на высоту:

$V = x^2 \cdot h$

Мы знаем, что объем бака должен быть 48 литров, что равно 48000 кубическим сантиметрам (поскольку 1 литр равен 1000 кубическим сантиметрам).

$48000 = x^2 \cdot h$

Мы также знаем, что площадь квадратного дна равна $x^2$.

Теперь давайте выразим высоту через площадь дна:

$h = \frac{48000}{x^2}$

Чтобы найти минимальное количество материала, нужно минимизировать площадь поверхности бака, которая состоит из площади дна и площадей четырех сторон. Площадь сторон можно выразить как произведение периметра дна на высоту одной стороны:

$S_{\text{сторон}} = 4xh$

Общая площадь поверхности будет:

$S_{\text{поверхности}} = x^2 + 4xh$

Подставим выражение для $h$:

$S_{\text{поверхности}} = x^2 + 4x \cdot \frac{48000}{x^2} = x^2 + \frac{192000}{x}$

Теперь нам нужно найти минимум этой функции. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

$\frac{d}{dx} S_{\text{поверхности}} = 2x - \frac{192000}{x^2}$

Приравниваем производную к нулю:

$2x - \frac{192000}{x^2} = 0$

Умножим обе стороны на $x^2$ и решим уравнение:

$2x^3 = 192000$

$x^3 = 96000$

$x = \sqrt[3]{96000} \approx 48.99$

Таким образом, сторона квадратного дна бака должна быть около 48.99 см, а соответствующая высота будет:

$h = \frac{48000}{48.99^2} \approx 19.58$

Итак, чтобы использовать наименьшее количество материалов, размеры бака должны быть примерно 48.99 см x 48.99 см x 19.58 см.