Question

Имеется 10 палочек длины 1; 1,9 ; 1,9² ;......;1,9⁹ . Можно ли из этих палочек, используя не обязательно все, сложить а) треугольник б) равнобедренный треугольник? МАКСИМАЛЬНО подробно .Актуально до 15.00 МСК, 17.06.20.

Answer 1

а) Можно. Для этого удобно брать палочки, идущие подряд. Возьмем первые 5 палочек: $1=1,9^0,\; 1,9,\; 1,9^2,\; 1,9^3,\; 1,9^4$.

Построим треугольник ABC: $AB=1+1,9^2,\; BC=1,9+1,9^3,\; AC=1,9^4$. Заметим, что $AC>AB,\; AC>BC$, поэтому можно не рассматривать неравенства треугольника, включающие эту сторону. Осталось доказать, что $AC$. Действительно $AB+BC=1+1,9+1,9^2+1,9^3=\frac{1,9^4-1}{1,9-1}$ по формуле суммы геометрической прогрессии. Но $\frac{1,9^4-1}{1,9-1}>1,9^4$. Проверим истинность этого неравенства: $1,9^{4}-1>1,9^5-1,9^4 \Leftrightarrow 2\times 1,9^4-1,9^5=1,9^4\times0,1>1\; \checkmark$.

б) Предположим, что можно. Тогда, в частности, можно составить два одинаковых отрезка. Рассмотрим набор степеней числа $1,9$, которые формируют первый отрезок. Пусть это числа $x_{1},\; x_{2},...,x_{n}$, для второго отрезка возьмем степени $y_{1},\; y_{2},...,y_{m}$. Получим $1,9^{x_{1}}+1,9^{x_{2}}+...+1,9^{x_{n}}=1,9^{y_{1}}+1,9^{y_{2}}+...+1,9^{y_{m}}$(*). Теперь становится ясно, почему это не может быть верно. Ведь то, что мы видим, похоже на запись числа в системе счисления, пусть и "необычной". Но двух различных записей одного числа не бывает. Однако трудно говорить об этом, имея дробную систему счисления. Пусть $x_{i}>x_{j}, \forall i>j\;\; \&\;\; y_{i}>y_{j},\forall i>j$, другими словами, степени расставлены по порядку. Умножим уравнение на $10^{\max(x_{n},\;y_{m})}$, получим только целые числа вида $10^{\alpha}19^{\beta}$. Пусть $\alpha\geq \beta$ . Выберем такое число $\gamma$, что $2\gamma >\alpha>\gamma$. Тогда число $(190)^{\gamma}\times 10^{\alpha-\gamma}\times 19^{\beta-\gamma}$ записано в системе счисления 190, поскольку, как легко видеть, $10^{\alpha-\gamma}\times 19^{\beta-\gamma}$. Отсюда и следует наше противоречие.

Впрочем, кажется, что это перебор, и можно было решить проще: в (*) вычеркнем равные члены с обеих сторон. Получим, что сумма разных степеней равна другой сумме разных степеней. Теперь в левой части к большим степеням перекинем с правой стороны меньшие, а для правой части наоборот. Значит, отрицательное число равно положительному. Противоречие.

Однако для тренировки, мне представляется, было полезно рассмотреть оба подхода.

Answer 2

Давайте разберемся с каждой частью задачи по очереди.

а) Сложить треугольник:

Для построения треугольника нам нужно сложить 3 палочки разной длины так, чтобы выполнялись условия неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Исходные длины палочек:

• 1
• 1.9
• 1.9^2
• ...
• 1.9^9

Максимальная сумма, которую мы можем получить, будет если выберем 3 самые длинные палочки. То есть, мы берем:

• 1.9^7
• 1.9^8
• 1.9^9

Суммируем их: 1.9^7 + 1.9^8 + 1.9^9 ≈ 13817.963

Это означает, что нельзя сложить треугольник из данных палочек, потому что максимальная длина третьей стороны (13817.963) больше, чем сумма длин двух остальных сторон.

б) Сложить равнобедренный треугольник:

Равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины. Так как у нас есть 10 палочек, и мы хотим построить равнобедренный треугольник, то нам нужно выбрать две палочки одинаковой длины.

Если мы возьмем две палочки с самой большой длиной (1.9^9), то сумма их длин будет: 2 * 1.9^9 ≈ 13817.963

Сумма длин остальных палочек никак не может превысить эту сумму. То есть, мы можем построить равнобедренный треугольник, используя две самые длинные палочки.

Подытожим:

а) Нельзя построить треугольник из данных палочек. б) Можно построить равнобедренный треугольник, используя две самые длинные палочки.

Учтите, что мои расчеты округлены для удобства, и точные значения могут немного отличаться.