Question

Задан металлический бак с квадратным основанием (без крышки), который вмещает 108 л воды. Определите, какими должны быть размеры данного бака, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала.

Answer 1

V=a²*h=108 откуда  h=108/a²

Посчитаем площадь поверхности (без крышки)

S=a²+4a*h=a²+4a*(108/a²)=a²+432/a

Нужно чтобы  площадь  была  минимальной. Минимум  функции  ищем  через  производную   S'(a)=2a-432/a²  

Экстремумы тогда, когда производная  не существует

или  равна  0.

2a-432/a²=0

2a³=432

a=6

Посмотрим  поведение  производной  в  промежутке  (0,6)  и  (6,+∞)

Производная  меняет  знак  с  минуса  на  плюс.

Значит  а=6  минимум.

Если помог поставь лучший ответ!)

Answer 2

Для определения оптимальных размеров металлического бака с квадратным основанием без крышки, вам потребуется использовать принцип оптимизации поверхности. Предположим, что бак имеет квадратное основание со стороной \(x\) и высоту \(h\).

Объем бака \(V\) определяется формулой:

\[V = x^2 \cdot h\]

Условие задачи указывает, что объем бака должен быть равен 108 литрам, что равно 108 дециметрам кубическим (1 литр = 1 дм³). Таким образом, у нас есть:

\[x^2 \cdot h = 108\]

Теперь нужно минимизировать поверхность бака, которая состоит из боковой поверхности и двух оснований. Поверхность боковой стороны (S) равна:

\[S = x \cdot h\]

Поверхность одного из оснований (A) равна:

\[A = x^2\]

Таким образом, общая поверхность \(P\) равна:

\[P = 2A + S = 2x^2 + x \cdot h\]

Теперь мы можем выразить высоту \(h\) через объем \(V\), используя уравнение \(x^2 \cdot h = 108\), и подставить это выражение в уравнение для поверхности \(P\):

\[P = 2x^2 + x \cdot \frac{108}{x^2} = 2x^2 + \frac{108}{x}\]

Теперь нам нужно найти минимум этой функции, взяв ее производную по \(x\) и приравняв ее к нулю:

\[P'(x) = 4x - \frac{108}{x^2} = 0\]

Умножим обе стороны на \(x^2\):

\[4x^3 - 108 = 0\]

Решив это уравнение, найдем значение \(x\). После этого можно будет найти значение \(h\) с использованием уравнения \(x^2 \cdot h = 108\).

После нахождения значений \(x\) и \(h\) можно будет определить оптимальные размеры бака для минимизации использования материала.