Question

Пожалуйста решите -4sin²x=4cosx-5

Answer 1

Ответ:

-4sin²x=4cosx-5

5-4cosx-4sin²x=0

1-4cosx+4cos²x=0

(2cosx-1)²=0

2cosx=1

cosx=0.5

x=2πn₁±π/3,  n₁∈Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение: -4sin²x = 4cosx - 5

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

-4sin²x - 4cosx + 5 = 0

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sin(x) и cos(x) через одну из них. Давайте воспользуемся тождеством sin²(x) + cos²(x) = 1:

sin²(x) = 1 - cos²(x)

Подставим это выражение в уравнение:

-4(1 - cos²(x)) - 4cosx + 5 = 0

Распределение:

-4 + 4cos²(x) - 4cosx + 5 = 0

Сгруппируем слагаемые:

4cos²(x) - 4cosx + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x):

4cos²(x) - 4cosx + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения мы можем воспользоваться квадратным трехчленом. Решим его сначала относительно cos(x):

cos(x) = [-(-4) ± √((-4)² - 4 * 4 * 1)] / (2 * 4)

cos(x) = [4 ± √(16 - 16)] / 8

cos(x) = [4 ± √0] / 8

Так как корень из 0 равен 0, у нас есть два одинаковых корня:

cos(x) = 4 / 8 = 0.5

Теперь найдем все значения угла x, которые соответствуют cos(x) = 0.5. Это будет 60 градусов (π/3 радиан) и 300 градусов (5π/3 радиан) в стандартной системе измерения углов.

Теперь, чтобы найти значения sin(x), подставим найденные значения cos(x) в тождество sin²(x) + cos²(x) = 1:

Для x = 60 градусов (π/3 радиан): sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - 0.5² = 1 - 0.25 = 0.75 sin(x) = √0.75 ≈ 0.866

Для x = 300 градусов (5π/3 радиан): sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - 0.5² = 1 - 0.25 = 0.75 sin(x) = √0.75 ≈ 0.866

Итак, решения уравнения -4sin²x = 4cosx - 5 в интервале от 0 до 2π радиан (или от 0 до 360 градусов) составляют:

x ≈ π/3 (60 градусов) и x ≈ 5π/3 (300 градусов), или их аппроксимации в радианах.