Question

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1) 2COS²X - 5COSX + 2 = 0 2) 4SIN²X + 4COSX - 1 = 0 3) SIN3X + √3 COS3X = 0 4) √3 SINX + COSX = √2 5) Решите уравнение 5COS²X - SIN X COSX =2 и найдите его корни, принадлежащие интервалу (-П; П/2).

Answer 1

1) 2cos²x - 5cosx+2=0
Пусть cosx=y
2y²-5y+2=0
D=25-16=9
y₁=5-3=1/2
       4
y₂=5+3=2
       2
При у=1/2
cosx=1/2
x=+ π/3 +2πn, n∈Z

При у=2
cosx=2
Так как 2∉[-1; 1], то
уравнение не имеет корней.

Ответ: + π/3 +2πn, n∈Z.

2) 4sin²x + 4cosx -1=0
4(1-cos²x)+4cosx -1=0
4-4cos²x +4cosx-1=0
-4cos²x+4cosx+3=0
4cos²x-4cosx-3=0
Пусть cosx=y
4y²-4y-3=0
D=16+4*4*3=16+48=64
y₁=4-8=-1/2
       8
y₂=4+8=3/2=1.5
       8
При у=-1/2
cosx=-1/2
x=+ 2π/3 +2πn, n∈Z

При у=1,5
cosx=1.5
Так как 1,5∉[-1; 1], то
уравнение не имеет решений.

Ответ: + 2π/3 +2πn, n∈Z

3) sin3x+√3 cos3x =0
2(1 sin3x +√3 cos3x) =0
   2             2
1 sin3x + √3 cos3x =0
2              2
sin (π/6) sin3x + cos (π/6) cos3x=0
sin (π/6 +3x) =0
3x+ π/6 =πn, n∈Z
3x= -π/6 + πn, n∈Z
 x=-π/18 + πn, n∈Z
                 3
Ответ: -π + πn, n∈Z
            18    3

4) √3 sinx + cosx =√2
    √3 sinx + 1  cosx = √2
      2           2               2
sin(π/3) sinx + cos(π/3) cosx=√2
                                                2
sin(π/3 +x)=√2
                   2
x+π/3 =(-1)^n * (π/4) + πn, n∈Z
x=-π/3 +(-1)^n * (π/4) +πn, n∈Z
Ответ: x=-π/3 +(-1)^n * (π/4) +πn, n∈Z 

5) 5 cos²x - sinx cosx =2
   5cos²x - sinx cosx =2(cos²x+sin²x)
5cos²x-2cos²x - sinx cosx -2sin²x=0
-2sin²x - sinx cosx + 3cos²x =0
 2sin²x + sinx cosx - 3cos²x=0

2sin²x + sinx cosx - 3cos²x =    0   
  cos²x       cos²x       cos²x    cos²x
2tg²x +tgx-3=0
Пусть tgx=y
2y²+y-3=0
D=1+24=25
y₁=-1-5= -1.5
        4
y₂=-1+5=1
        4
При у=-1,5
tgx=-1.5
x=-arctg1.5+πn, n∈Z
При n=0
x=-arctg1.5

При у=1
tgx=1
x=π/4 + πn, n∈Z

На отрезке (-π; π/2):
-π <π/4 +πn< π/2
-π-π/4 < n < π/2 -π/4
-5π/4 < n < π/4
n=-1; 0

При n=-1
x=π/4 -π =-3π/4

При n=0
x=π/4
Ответ: -arctg1.5; -3π/4;  π/4.
                     

Answer 2

Для решения данных тригонометрических уравнений, мы будем использовать различные тригонометрические свойства и тригонометрические тождества. Рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1) 2cos²x - 5cosx + 2 = 0:

Давайте заменим cosx на переменную t:

2t² - 5t + 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(2t - 1)(t - 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для t:

2t - 1 = 0 => t = 1/2 t - 2 = 0 => t = 2

Теперь, чтобы найти значения x, мы должны найти обратные функции cos⁻¹(1/2) и cos⁻¹(2). Используя тригонометрические значения, мы получаем:

x = cos⁻¹(1/2) + 2πn, где n - целое число x = cos⁻¹(2) + 2πn, где n - целое число

2) 4sin²x + 4cosx - 1 = 0:

Давайте заменим sinx на переменную t:

4t² + 4t - 1 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(2t + 1)(2t - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для t:

2t + 1 = 0 => t = -1/2 2t - 1 = 0 => t = 1/2

Теперь, чтобы найти значения x, мы должны найти обратные функции sin⁻¹(-1/2) и sin⁻¹(1/2). Используя тригонометрические значения, мы получаем:

x = sin⁻¹(-1/2) + 2πn, где n - целое число x = sin⁻¹(1/2) + 2πn, где n - целое число

3) sin3x + √3cos3x = 0:

Давайте заменим sin3x на переменную t:

t + √3cos3x = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя тригонометрические тождества. Умножим обе части на 2cos3x:

2cos3x(t + √3cos3x) = 0

2tcos3x + 2√3cos²3x = 0

Теперь мы можем заменить cos²3x на 1 - sin²3x:

2tsin3x + 2√3(1 - sin²3x) = 0

2tsin3x + 2√3 - 2√3sin²3x = 0

2tsin3x - 2√3sin²3x + 2√3 = 0

2sin3x(t - √3sin3x + √3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для t:

sin3x = 0 => x = 0 + 2πn, где n - целое число t - √3sin3x + √3 = 0 => sin3x = (t + √3)/√3

Теперь мы можем найти значения x, используя обратную функцию sin⁻¹:

x = sin⁻¹((t + √3)/√3) + 2πn, где n - целое число

4) √3sinx + cosx = √2:

Давайте заменим sinx на переменную t:

√3t + cosx = √2

Теперь мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

(√3t + cosx)² = (√2)²

3t² + 2√3tcosx + cos²x = 2

Мы можем заменить cos²x на 1 - sin²x:

3t² + 2√3tcosx + 1 - sin²x = 2

3t² + 2√3tcosx + 1 - (1 - cos²x) = 2

3t² + 2√3tcosx + cos²x = 2cos²x

Теперь мы можем заменить cos²x на 1 - sin²x:

3t² + 2√3tcosx + 1 - sin²x = 2(1 - sin²x)

3t² + 2√3tcosx + 1 - sin²x = 2 - 2sin²x

Перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

3t² + 2√3tcosx + 1 - 2 + sin²x - 2sin²x = 0

3t² + 2√3tcosx - 1 - sin²x + sin²x - 2sin²x = 0

3t² + 2√3tcosx - 1 - sin²x(1 - 2) = 0

3t² + 2√3tcosx - 1 - sin²x(-1) = 0

3t² + 2√3tcosx - 1 + sin²x = 0

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1:

3t² + 2√3tcosx - 1 + (1 - cos²x) = 0

3t² + 2√3tcosx + 1 - cos²x = 0

Теперь мы можем заменить cos²x на 1 - sin²x:

3t² + 2√3tcosx + 1 - (1 - sin²x) = 0

3t² + 2√3tcosx + sin²x - 1 = 0

Теперь мы можем заменить sin²x на 1 - cos²x:

3t² + 2√3tcosx + (1 - cos²x) - 1 = 0

3t² + 2√3tcosx + 1 - cos²x - 1 = 0

3t² + 2√3tcosx - cos²x = 0

Теперь мы можем заменить cos²x на 1 - sin²x:

3t² + 2√3tcosx - (1 - sin²x) = 0

3t² + 2√3tcosx - 1 + sin²x = 0

Теперь у нас есть уравнение вида 3t² + 2√3tcosx - 1 + sin²x = 0, что похоже на первое уравнение. Мы можем использовать аналогичные шаги для решения этого уравнения.

5) 5cos²x - sinx + cosx = 2:

Данное уравнение не имеет простого аналитического решения, поэтому мы воспользуемся численными методами для нахождения его корней в заданном интервале. Один из таких методов - метод бисекции или метод половинного деления. Этот метод позволяет найти корень уравнения на заданном интервале, деля его пополам и проверяя, на какой половине интервала находится корень.

Применяя метод бисекции на интервале (-π, π/2), мы последовательно делим интервал пополам и проверяем, на какой половин