Question

28. (02-5-12) При каких значениях m график квадратной функции y = (m + 4) x^2– 2(m + 2)x +1расположен ниже оси абсцисс?​

Answer 1

Если коэффициент при $x^2$ отрицательный и функция отрицательная, то парабола должна быть расположена ниже оси абсцисс

$m$

$(m+4)x^2-2(m+2)x+1$

$(m+4)\left(x^2-2\cdot \dfrac{m+2}{m+4}x\pm\dfrac{(m+2)^2}{(m+4)^2}\right)+1$

Первое слагаемое отрицательно, т.е. $(m+4)\left(x+\dfrac{m+2}{m+4}\right)^2$, но $1-\dfrac{(m+2)^2}{m+4}>0$, следовательно, нет таких значений параметра $m$, для которых верно неравенство для всех $x.$

Нет таких значений параметра $m.$

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях параметра m график функции будет расположен ниже оси абсцисс, нужно проанализировать дискриминант квадратного трёхчлена, который определяется коэффициентами при x^2, x и свободном члене в уравнении.

Для функции y = (m + 4)x^2 – 2(m + 2)x + 1 дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где:

• a = m + 4 (коэффициент при x^2)
• b = -2(m + 2) (коэффициент при x)
• c = 1 (свободный член)

Поскольку вы интересуетесь случаем, когда график находится ниже оси абсцисс (то есть функция имеет только отрицательные значения), нам необходимо, чтобы дискриминант был положительным, так как это обеспечивает наличие двух различных корней (x-intercepts), а график будет пересекать ось абсцисс.

Таким образом, условие для того, чтобы график функции находился ниже оси абсцисс, выглядит следующим образом:

D > 0 (-2(m + 2))^2 - 4(m + 4)(1) > 0 4(m + 2)^2 - 4(m + 4) > 0 4(m^2 + 4m + 4) - 4(m + 4) > 0 4m^2 + 16m + 16 - 4m - 16 > 0 4m^2 + 12m > 0 4m(m + 3) > 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если m > 0: В этом случае оба множителя положительны, и произведение также будет положительным.

2. Если m < -3: В этом случае оба множителя отрицательны, и произведение снова будет положительным.

Итак, чтобы график функции был расположен ниже оси абсцисс, параметр m должен удовлетворять условиям m > 0 или m < -3.