Question

Постройте график функции y = x² + 3x + 4, используя преобразования графиков. а) преобразуйте исходную функцию к виду y = (x + k)² + n б) постройте график функции y = (x + k)² путем преобразования графика функции y = x² в) постройте график функции y = (x + k)² + n путем преобразования графика функции y = (x + k)² г) по графику определите область определения и область значений функции.

Answer 1

Ответ:

======================================

Объяснение:

Answer 2

Давайте последовательно выполним все указанные вами шаги для преобразования и построения графика функции $y = x^2 + 3x + 4$ с использованием преобразований графиков.

а) Преобразуем исходную функцию $y = x^2 + 3x + 4$ к виду $y = (x + k)^2 + n$:

Для этого нам нужно завершить квадрат по переменной $x$. Раскроем полный квадрат для члена $x^2 + 3x$:

$x^2 + 3x = (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

Теперь добавим константу $n = 4$ к обеим сторонам:

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4$

Сократим дробь и объединим константы:

$y = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

Таким образом, $k = \frac{3}{2}$ и $n = \frac{7}{4}$.

б) Теперь построим график функции $y = (x + k)^2$ путем преобразования графика функции $y = x^2$:

График функции $y = x^2$ — это парабола, симметричная относительно оси $y$. Теперь мы сдвигаем этот график влево на $k = \frac{3}{2}$ единиц. Это означает, что каждая точка графика $y = x^2$ будет сдвинута влево на $1.5$ единицы.

в) Теперь построим график функции $y = (x + k)^2 + n$ путем преобразования графика функции $y = (x + k)^2$:

Мы уже построили график функции $y = (x + k)^2$, который является сдвинутой влево версией параболы $y = x^2$. Теперь мы сдвигаем весь этот график вверх на $n = \frac{7}{4}$ единиц. Это означает, что каждая точка графика будет поднята вверх на $1.75$ единицы.

г) Область определения функции $y = x^2 + 3x + 4$ является множеством всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как квадратный член $x^2$ имеет определение для всех действительных $x$.

Область значений функции определяется формой параболы. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, то и $y = x^2 + 3x + 4$ также всегда неотрицательно. Следовательно, область значений функции находится в интервале $[n, +\infty)$, где $n = \frac{7}{4}$.