Question

Реши следующие уравнения в натуральных числах n и k: а) 1!+...+n!=(1!+...+k!)2; б) 1!+...+n!=(1!+...+k!)3, где n!=1⋅2⋅...⋅n. Ответ: а) n= ,k= ;n= ,k= ; б) n= ,k=.

Answer 1

Ответ:

Бог в помощь

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

а) 1! + 2! + ... + n! = (1! + 2! + ... + k!)^2

Мы знаем, что 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6 и так далее. Давайте распишем первые несколько членов левой части уравнения:

1! + 2! + 3! + ... + n!

Теперь давайте представим правую часть как квадрат суммы:

(1! + 2! + ... + k!)^2

Сначала рассмотрим случай, когда k = 1. Тогда правая часть равна (1!)^2 = 1, и левая часть также равна 1. Таким образом, первое решение: n = 1, k = 1.

Теперь рассмотрим случай, когда k > 1. Если k > 1, то (1! + 2! + ... + k!)^2 > 1, поэтому левая часть (1! + 2! + ... + n!) не может равняться этому значению. Таким образом, нет других решений для этого уравнения.

Итак, ответ для а) n = 1, k = 1.

б) 1! + 2! + ... + n! = (1! + 2! + ... + k!)^3

Аналогично, давайте представим левую часть уравнения:

1! + 2! + 3! + ... + n!

И правую часть как куб суммы:

(1! + 2! + ... + k!)^3

Снова рассмотрим случай, когда k = 1. Тогда правая часть равна (1!)^3 = 1, и левая часть также равна 1. Таким образом, второе решение: n = 1, k = 1.

Для случая k > 1 аналогично предыдущему уравнению, так как куб суммы всегда больше 1, нет других решений для этого уравнения.

Итак, ответ для б) n = 1, k = 1.

В обоих случаях единственным решением является n = 1, k = 1.