Question

Реши следующие уравнения в натуральных числах n и k: а) 1!+...+n!=(1!+...+k!)2; б) 1!+...+n!=(1!+...+k!)4, где n!=1⋅2⋅...⋅n.

Answer 1

Ответ: n=k=1

Объяснение:

a) Простым перебором убеждаемся, что пары n=k=1 и n=3, k=2 являются решением уравнения. Теперь при n≥4 число 1!+...+n! в десятичной записи оканчивается на 3.

 Действительно,

1!+2!+3!+4!=33, n=4,

 1!+2!+3!+4!+...+n!=33+10k, n≥5,

поскольку n! делится на 10 при n≥5. Но квадрат натурального числа не может в десятичной записи оканчиваться на 3, следовательно, других решений данное уравнение не имеет.

 б) Видим, что уравнение имеет решение n=k=1. Далее, при 2≤n≤6 и n=8 число

1!+2!+3!+4!+...+n!

  делится на 3, но не делится на 27. Значит, при таких n уравнение не имеет решений. Теперь при  n≥9 получаем, что число

  1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+...+n!

  делится на 3, но не делится на 27, поскольку n! делится на 27 при n≥9. Следовательно, уравнение не имеет решений при n≥9. Наконец, при n=7 видим, что

 1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!=5913,

но это число не является m-й степенью никакого числа.

Получаем, что единственным решением этого уравнения будет n=k=1.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым уравнением по очереди:

а) 1! + 2! + ... + n! = (1! + 2! + ... + k!)^2

Для начала, давайте найдем значения левой части уравнения, то есть сумму факториалов. Заметим, что 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и так далее. Мы можем выразить сумму первых n факториалов как:

1! + 2! + 3! + ... + n! = 1 + 2 + 6 + ... + n!

Теперь мы можем рассмотреть правую часть уравнения. Если мы возведем сумму факториалов (1! + 2! + ... + k!) в квадрат, мы получим:

(1! + 2! + ... + k!)^2 = (1 + 2 + 6 + ... + k!)^2

Таким образом, левая и правая части уравнения равны. Теперь нам нужно найти такие натуральные числа n и k, для которых это выполняется. Один из простых способов это сделать - это взять k = 1. Тогда у нас есть:

1! + 2! + 3! + ... + n! = (1 + 2 + 6 + ... + 1)^2 = (1)^2 = 1

Теперь мы видим, что левая часть уравнения равна 1, но это не может быть правдой для натуральных n, так как сумма факториалов всегда больше 1. Следовательно, для данного уравнения натуральных решений не существует.

б) 1! + 2! + ... + n! = (1! + 2! + ... + k!)^4

Аналогично, давайте найдем значения левой части уравнения, то есть сумму факториалов:

1! + 2! + 3! + ... + n! = 1 + 2 + 6 + ... + n!

Теперь рассмотрим правую часть уравнения, возведенную в четвертую степень:

(1! + 2! + ... + k!)^4 = (1 + 2 + 6 + ... + k!)^4

Снова, чтобы левая и правая части уравнения были равны, можно взять k = 1:

1! + 2! + 3! + ... + n! = (1 + 2 + 6 + ... + 1)^4 = (1)^4 = 1

Теперь мы видим, что левая часть уравнения равна 1. Мы также видим, что сумма факториалов всегда больше 1, поэтому нам нужно искать значения n, при которых левая часть равна 1. Однако ни одно натуральное число n не удовлетворяет этому условию, так как сумма факториалов всегда больше 1. Следовательно, и для этого уравнения натуральных решений не существует.