Question

Высоту над землей подброшенного вертикально вверх мяча вычисляют по формуле h(t) = -2t² + 11t где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. а) через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 5 м? б) на какой высоте будет мяч через 2с? в) какой наибольшей высоты достигнет мяч? г) через сколько секунд мяч опустится на землю?

Answer 1

Ответ:

$h(t)=-2t^2+11t\\\\a)\ \ h(t)=5\ \ ,\ \ \ -2t^2+11t=5\ \ ,\ \ -2t^2+11t-5=0\ \ ,\ \ 2t^2-11t+5=0\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{11-9}{4}=0,5\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{11+9}{4}=5$

Через 0,5 сек и через 5 сек мяч будет находиться на высоте 10 м .

$b)\ \ t=2\ \ ,\ \ h(2)=-2\cdot 2^2+11\cdot 2=-8+22=14$

Через 2 сек мяч будет на высоте 14 м .

$c)\ \ t_{vershinu}=-\dfrac{11}{-4}=\dfrac{11}{4}\\\\h_{vershinu}=-2\cdot \dfrac{121}{16}+11\cdot \dfrac{11}{4}=\dfrac{242}{4}=60,5$

Наибольшая высота = 60,5 м .

$d)\ \ h(t)=0\ \ \to \ \ -2t^2+11t=0\ \,\ \ t\, (-2t+11)=0\ \ ,\ \ t_1=0\ ,\ t_2=5,5$

Мяч опустится на землю через 5,5 сек .

Answer 2

Для решения данных задач используем данную формулу для высоты мяча:

h(t) = -2t² + 11t

а) Чтобы найти время, через которое мяч будет находиться на высоте 5 метров, подставим h(t) = 5 и решим уравнение:

5 = -2t² + 11t

Перенесем все на одну сторону и получим квадратное уравнение:

2t² - 11t + 5 = 0

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться дискриминантом (D = b² - 4ac). Для этого у нас есть:

a = 2 b = -11 c = 5

D = (-11)² - 4 * 2 * 5 = 121 - 40 = 81

Теперь используем квадратный корень из D, чтобы найти два значения t:

t₁ = (-(-11) + √81) / (2 * 2) = (11 + 9) / 4 = 20 / 4 = 5 t₂ = (-(-11) - √81) / (2 * 2) = (11 - 9) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Ответ: Мяч будет находиться на высоте 5 метров через 5 секунд и через 0.5 секунд.

б) Чтобы найти высоту мяча через 2 секунды (t = 2), подставим t = 2 в формулу:

h(2) = -2(2)² + 11(2) h(2) = -8 + 22 h(2) = 14 метров

Ответ: Мяч будет находиться на высоте 14 метров через 2 секунды.

в) Для нахождения наибольшей высоты, достигнутой мячом, нам нужно найти вершину параболы, которая описывает траекторию мяча. Вершина параболы можно найти по формулам:

t_вершины = -b / (2a) h_вершины = h(t_вершины)

где a, b и c берутся из уравнения 2t² - 11t + 5 = 0.

a = 2, b = -11, c = 5

t_вершины = -(-11) / (2 * 2) = 11 / 4 = 2.75 секунд

Теперь найдем h_вершины:

h_вершины = -2(2.75)² + 11(2.75) = -2 * 7.5625 + 30.25 = -15.125 + 30.25 = 15.125 метров

Ответ: Мяч достигнет наибольшей высоты в 15.125 метров через 2.75 секунды.

г) Чтобы найти время, через которое мяч опустится на землю, нужно найти корень уравнения h(t) = 0:

0 = -2t² + 11t

Используем квадратное уравнение:

2t² - 11t = 0

Факторизуем это уравнение:

t(2t - 11) = 0

Таким образом, у нас есть два значения t:

1. t = 0 (начальный момент времени)
2. 2t - 11 = 0, отсюда t = 11/2 = 5.5 секунд

Ответ: Мяч опустится на землю через 5.5 секунд после броска.