Question

При каких значениях x и y выражение принимает наибольшее и наименьшее значение и чему оно равно? 2+6y-4x-x^2-y^2

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Сгруппируем

2+6y-4x-x^2-y^2 = 2-(у^2-6у+9-9) - (х^2+4х+4-4) = 2-(у-3)^2+9-(х+2)^2+4 = 15-(у-3)^2-(х+2)^2

От 15 отнимаем положительние числа → максимальное значение виражения равно 15 при у=3 и х= -2

Минимальное значение уходит в минус бесконечность при сколь угодно больших, по модулю, х и у

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения $2 + 6y - 4x - x^2 - y^2$, можно воспользоваться методом частных производных. Для этого нужно найти частные производные по $x$ и $y$ и приравнять их к нулю:

1. $\frac{\partial}{\partial x}(2 + 6y - 4x - x^2 - y^2) = -4 - 2x = 0$
2. $\frac{\partial}{\partial y}(2 + 6y - 4x - x^2 - y^2) = 6 - 2y = 0$

Теперь решим эту систему уравнений:

1. Из уравнения (1) получаем: $-4 - 2x = 0$, отсюда $2x = -4$, и $x = -2$.

2. Из уравнения (2) получаем: $6 - 2y = 0$, отсюда $2y = 6$, и $y = 3$.

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение выражения, подставим $x = -2$ и $y = 3$ в исходное выражение:

$2 + 6(3) - 4(-2) - (-2)^2 - (3)^2 = 2 + 18 + 8 - 4 - 9 = 15$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 15 и достигается при $x = -2$ и $y = 3$, а наименьшее значение равно -9 и достигается при $x = -2$ и $y = 3$.