Question

Дано тригонометрическое выражение:   sin72°⋅cos12°−sin18°⋅cos78°. ​

Answer 1

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Объяснение:

$sin72cos12-sin18cos78$

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус:

$\frac{1}{2}(sin(72-12)+sin(72+12))-\frac{1}{2}(sin(18-78)+sin(78+18))$

$\frac{1}{2}(sin60+sin84)-\frac{1}{2}(sin(-60)+sin96)$

$\frac{1}{2}((sin60+sin84)-(sin(-60)+sin96))$

Вынесем минус из синуса по правилам нечётности синуса

$\frac{1}{2}((sin60+sin84)-(-sin60+sin96))$

Откроем скобки

$\frac{1}{2}((sin60+sin84+sin60-sin96))$

Заметим, что $sin60$ равняется $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+sin84+\frac{\sqrt{3}}{2}-sin96)$

$\frac{1}{2}(\sqrt{3}+sin84-sin96)$

Вынесем $\sqrt{3}$ из скобок, умножив его на $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(sin84-sin96)$

По формуле разности синусов мы приведём это выражение к этому:

$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(2(sin\frac{84-96}{2}*cos\frac{84+96}{2}))$

$\frac{1}{2}$ и $2$ при умножении уничтожаются

$\frac{\sqrt{3}}{2}+(sin\frac{84-96}{2}*cos\frac{84+96}{2})$

$\frac{\sqrt{3}}{2}+(sin(-6)*cos90)$

Так как $cos90$ равен 0, при умножении $sin(-6)$ на 0 будет 0

$\frac{\sqrt{3}}{2}+(sin(-6)*0)$

$\frac{\sqrt{3}}{2}+0$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 2

Для вычисления данного тригонометрического выражения, мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

1. $\sin(90° - \theta) = \cos(\theta)$
2. $\cos(90° - \theta) = \sin(\theta)$

Используя эти тождества, мы можем переписать данное выражение:

$$\sin(72°) \cdot \cos(12°) - \sin(18°) \cdot \cos(78°) = \sin(90° - 18°) \cdot \cos(90° - 12°) - \sin(90° - 72°) \cdot \cos(90° - 78°)$$

Теперь мы можем использовать тождества и вычислить выражение:

$$\sin(72°) \cdot \cos(12°) - \sin(18°) \cdot \cos(78°) = \cos(18°) \cdot \sin(12°) - \sin(72°) \cdot \sin(12°)$$

Теперь мы можем вычислить значения синусов и косинусов для указанных углов:

$$\cos(18°) \cdot \sin(12°) - \sin(72°) \cdot \sin(12°) \approx 0.30901699 \cdot 0.20791169 - 0.95105652 \cdot 0.20791169 \approx 0.0634673 - 0.1987787 \approx -0.1353114$$

Итак, значение данного тригонометрического выражения равно примерно -0.1353.