Question

Доведіть що число (n+5)² - n² ділиться на 5 БУДЬ ЛАСКА СРОЧНО

Answer 1

$\displaystyle\bf\\(n+5)^{2} -n^{2} =n^{2}+10n+25-n^{2}=10n+25=5(2n+5)$

Если один из множителей делится на 5 , то и всё произведение делится на 5 .

Answer 2

Щоб довести, що число (n+5)² - n² ділиться на 5, ми можемо скористатися індукцією.

Базовий крок: При n = 1, ми маємо (1+5)² - 1² = 6² - 1² = 36 - 1 = 35. Це число ділиться на 5, оскільки 35 = 5 * 7.

Крок індукції: Припустимо, що для певного значення n число (n+5)² - n² ділиться на 5. Тобто, існує ціле число k, для якого (n+5)² - n² = 5k.

Розглянемо вираз для n + 1: ((n+1)+5)² - (n+1)² = (n+6)² - (n+1)² = n² + 12n + 36 - n² - 2n - 1 = 10n + 35 = 5(2n + 7).

Ми отримали вираз, який можна записати у вигляді 5 помноженого на деяке ціле число (2n + 7). Це означає, що (n+1+5)² - (n+1)² ділиться на 5.

Таким чином, ми показали, що якщо для певного значення n число (n+5)² - n² ділиться на 5, то воно ділиться на 5 і для n + 1. Значить, за принципом математичної індукції, число (n+5)² - n² ділиться на 5 для будь-якого натурального числа n.