Question

Остача при діленні натурального числа m на 11 дорівнює 9, а остача при діленні натурального числа n на 11 дорівнює 5. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

m=11a+9

n=11b+5   где a и b некоторые числа

mn=(11a+9)(11b+5)=11*11ab+11*5a+11*9b+45

mn/11=(11*11ab+11*5a+11*9b+45)/11=(11ab+5a+9b)+45/11=

=(11ab+5a+9b+4)+1/11

mn/11=(11ab+5a+9b+4)+1/11

mn=11(11ab+5a+9b+4)+1

Остаток =1

Answer 2

При діленні натурального числа на 11, можливі тільки 11 можливих остач:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Оскільки остача при діленні числа m на 11 дорівнює 9, то м можна записати у вигляді m = 11k + 9, де k – це ціле число.

Аналогічно, оскільки остача при діленні числа n на 11 дорівнює 5, то n можна записати у вигляді n = 11x + 5, де x – це ціле число.

Тепер розглянемо добуток м і n:

mn = (11k + 9)(11x + 5) = 121kx + 55k + 99x + 45 = 121kx + 99x + 55(k+1) + 45.

Зафіксуємо увагу на останніх двох доданках 55(k+1) і 45. Їх сума дорівнює 100k + 100. Можна записати mn у вигляді:

mn = 121kx + 99x + (100k + 100).

Далі, можна записати:

mn = 11(11kx + 9x + (10k + 10)).

Останній вираз в дужках (11kx + 9x + (10k + 10)) – це ціле число, оскільки є сумою цілих чисел. Позначимо його як q, тоді:

mn = 11q.

Таким чином, остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 0, оскільки mn кратне 11.

Отже, доведено, що остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 0.