Question

Решите логарифмическое неравенство: Iog3(x^2+2x-3)≤log3(x+9)

Answer 1

Все правильно будет 56.

Answer 2

Для решения логарифмического неравенства вида \(\log_a(b) \leq \log_a(c)\), где \(a\) - основание логарифма, \(b\) и \(c\) - выражения под логарифмами, мы можем использовать свойство логарифма: если \(\log_a(b) \leq \log_a(c)\), то \(b \leq c\).

Итак, у нас дано неравенство:

\(\log_3(x^2 + 2x - 3) \leq \log_3(x + 9)\)

Сначала преобразуем логарифмы в их эквивалентные алгебраические формы:

\(x^2 + 2x - 3 \leq x + 9\)

Теперь приведем подобные члены:

\(x^2 + 2x - x - 3 - 9 \leq 0\)

\(x^2 + x - 12 \leq 0\)

Теперь найдем корни уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\) чтобы найти интервалы, на которых неравенство выполнено. Решим это уравнение:

\(x^2 + x - 12 = 0\)

\((x + 4)(x - 3) = 0\)

Отсюда получаем два корня: \(x = -4\) и \(x = 3\).

Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство \(x^2 + x - 12 \leq 0\):

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Интервал} & x^2 + x - 12 \\ \hline x < -4 & - - \\ -4 < x < 3 & + - \\ x > 3 & + + \\ \hline \end{array} \]

Таким образом, мы видим, что неравенство \(x^2 + x - 12 \leq 0\) выполняется на интервале \(-4 \leq x \leq 3\).

Теперь нужно проверить найденный интервал, чтобы убедиться, что он удовлетворяет исходному логарифмическому неравенству.

Проверим первоначальное условие \(\log_3(x^2 + 2x - 3) \leq \log_3(x + 9)\):

На интервале \(-4 \leq x \leq 3\) у нас \(x^2 + x - 12 \leq 0\). Это означает, что \(x^2 + 2x - 3 \leq x + 9\).

Теперь подставим найденные корни, чтобы проверить:

При \(x = -4\): \(\log_3((-4)^2 + 2(-4) - 3) \leq \log_3(-4 + 9)\)

\(\log_3(16 - 8 - 3) \leq \log_3(5)\)

\(\log_3(5) \leq \log_3(5)\)

Условие выполнено.

При \(x = 3\): \(\log_3(3^2 + 2(3) - 3) \leq \log_3(3 + 9)\)

\(\log_3(9 + 6 - 3) \leq \log_3(12)\)

\(\log_3(12) \leq \log_3(12)\)

Условие также выполнено.

Таким образом, решение неравенства: \(-4 \leq x \leq 3\).