Question

Помогите с физикой Две одинаковые длинные тяжелые однородные доски лежат (одна на другой) на горизонтальной поверхности. Резким ударом нижней доске сообщили начальную скорость 6 м/с, направленную точно вдоль досок. Доски до самой остановки движутся поступательно. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с2. 1.) За какое время проскальзывание досок друг по другу прекратится, если коэффициент трения между досками и коэффициент трения между нижней доской и поверхностью одинаковы и равны 0,5? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых. 2.) За какое время после сообщения нижней доске начальной скорости движение досок прекратится полностью? Ответ выразите в секундах, округлив до десятых. ​

Answer 1

Дано:

m₁ = m₂ = m

υ₀ = 6 м/с

μ₁ = μ₂ = μ = 0,5

g = 10 м/с²

t, τ - ?

Решение:

Для ответа на первый вопрос мы будем рассматривать каждое из тел в тот момент, когда начинается движение (в данной задаче силы трения покоя уже преодолены и на обе доски действуют силы трения скольжения). Также мы будем рассматривать каждую доску относительно неподвижной системы отсчёта - земной поверхности.

Для ответа на второй вопрос доски будем рассматривать как единое тело, т.к. обе они тормозят с одинаковым ускорением относительно земной поверхности.

См. рисунок №1. После толчка на нижнюю доску по горизонтали действуют две силы: сила трения между поверхностью и нижней доской Fтр2 и сила трения между нижней доской и верхней Fтр1. Равнодействующая этих сил тормозит нижнюю доску.

На верхнюю доску действует только одна сила - сила трения Fтр1 (по Третьему закону Ньютона верхняя доска действует на нижнюю так же, как и нижняя - на верхнюю). Она разгоняет доску.

Составим уравнение по Второму Закону Ньютона для каждой из досок и выразим ускорения:

ВЕРХНЯЯ:

OY: N₁ - mg = 0 => N₁ = mg

OX: Fтр₁ = ma₁

Fтр₁ = μN₁ => μmg = ma₁ | : m

μg = a₁

НИЖНЯЯ:

OY: N₂ - mg - P = 0 => N₂ = mg + P, где P - вес верхней доски (P = mg), т.о.:

N₂ = mg + mg = 2mg

OX: Fтр₂ + Fтр₁ = ma₂

Fтр₂ = μN₂ => 2μmg + μmg = ma₂ | : m

2μg + μg = a₂

3μg = a₂

1) Верхняя доска будет ускоряться до тех пор, пока её скорость не совпадёт со скоростью нижней. В этот момент она будет находиться в состоянии покоя относительно нижней доски. То есть, проскальзывание досок друг по другу прекратится и обе как единое целое продолжат движение до полной остановки. Используем кинематическую формулу скорости через ускорение и время для того, чтобы найти эту единую для обеих досок скорость:

υ = υ₀' + a₁*t - для верхней

υ = υ₀ - a₂*t - для нижней

Приравняем их:

υ = υ

υ₀' + a₁*t = υ₀ - a₂*t,

где υ₀' = 0 =>

=> a₁*t = υ₀ - a₂*t

a₁*t + a₂*t = υ₀

t*(a₁ + a₂) = υ₀

t = υ₀/(a₁ + a₂) = υ₀/(μg + 3μg) = υ₀/(4μg) = 6/(4*0,5*10) = 6/20 = 3/10 = 0,3 c

2) Время от начала движения до полной остановки будет складываться из промежутка t и промежутка t', за который доски как единое целое проскользят по поверхности до остановки:

τ = t + t'

См. рисунок №2. Теперь будем рассматривать доски как единое тело массой М, на которое действует сила трения Fтр.

Найдём ускорение:

OY: N = Mg

OX: Fтр = Ma

μMg = Ma | : M

μg = a

Вообще-то, если рассмотреть доски отдельно, то возникнет вопрос: а какая сила тормозит верхнюю? Ведь до скорости υ её разогнала сила трения со стороны нижней, а как известно, тела обладают инертностью - стремятся сохранить свою скорость постоянной. То есть верхняя доска сопротивляется изменению своей скорости. Этой силой, сообщающей торможение, является сила трения покоя между досками. Точно эта же сила действует и на нижнюю со стороны верхней (согласно Третьему закону Ньютона).

Выразим время t', за которое скорость системы υ изменяется до υ' = 0:

υ' = υ - a*t'

0 = υ - a*t' => υ = a*t' => t' = υ/a = a₁*t/a = (μg*υ₀/(4μg)) / (μg) = (υ₀/4) / (μg) = υ₀/(4μg) =>

=> τ = t + t' = υ₀/(4μg) + υ₀/(4μg) = 2υ₀/(4μg) = υ₀/(2μg) = 6/(2*0,5*10) = 6/10 = 0,6 c

Ответ: 0,3 с; 0,6 с.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из ваших вопросов по очереди.

1. Время проскальзывания досок друг по другу до полной остановки:

   Первым шагом мы можем найти ускорение досок. Ускорение свободного падения не участвует в горизонтальном движении, так как оно направлено вертикально. Ускорение досок будет вызвано горизонтальными силами трения между ними.

   Для этого используем второй закон Ньютона: F = m * a, где F - сила трения, m - масса досок, a - ускорение.

   Масса каждой доски не влияет на ускорение, поэтому мы можем использовать массу единичной длины доски. Пусть L - длина каждой доски, тогда масса единичной длины будет m = L * плотность, где плотность - плотность материала досок.

   По условию, коэффициент трения между досками и между нижней доской и поверхностью одинаковы и равны μ = 0,5.

   Сила трения между верхней и нижней доской равна μ * m * g, где g - ускорение свободного падения.

   Теперь, чтобы найти ускорение a, применяем второй закон Ньютона: F = m * a: μ * m * g = m * a

   m сокращается: μ * g = a

   Теперь мы знаем ускорение досок. Для того чтобы они полностью остановились, нужно, чтобы начальная скорость была меньше этой скорости.

   Первоначальная скорость нижней доски - 6 м/с. Для того чтобы определить, за какое время доски остановятся, нужно разделить начальную скорость на ускорение:

   t = (начальная скорость) / (ускорение) = 6 м/с / (0,5 * 10 м/с²) = 1,2 секунды.

   Ответ на первый вопрос: Время проскальзывания досок друг по другу до полной остановки равно 1,2 секунды (округлено до десятых).

2. Время после сообщения нижней доске начальной скорости, когда движение досок полностью прекратится:

   Теперь, чтобы определить, когда полностью прекратится движение досок, нужно учесть ускорение свободного падения.

   Начальная скорость нижней доски - 6 м/с. Для того чтобы определить, за какое время доски полностью остановятся, нужно использовать уравнение движения:

   v = u + at

   Где v - конечная скорость (0 м/с, так как доски полностью останавливаются), u - начальная скорость (6 м/с), a - общее ускорение (состоит из ускорения трения и ускорения свободного падения), t - время.

   Общее ускорение a = ускорение трения + ускорение свободного падения.

   Ускорение трения мы уже вычислили в предыдущем ответе: μ * g = 0,5 * 10 м/с² = 5 м/с².

   Теперь у нас есть оба ускорения: a = 5 м/с² (ускорение трения) - 10 м/с² (ускорение свободного падения) = -5 м/с².

   Подставляем это значение в уравнение движения: 0 = 6 м/с + (-5 м/с²) * t

   Решаем уравнение относительно времени t: 6 м/с = 5 м/с² * t t = 6 м/с / 5 м/с² = 1,2 секунды.

   Ответ на второй вопрос: Время после сообщения нижней доске начальной скорости, когда движение досок полностью прекратится, равно 1,2 секунды (округлено до десятых).