Question

1. Знайдіть градусні міри кутів паралелограма, якщо його площа 40√3 см², довжини сторін 8 см і 10 см. 2. Довжини висот паралелограма 5 см і 3 см. Знайдіть довжину сторони паралелограма, до якої проведено меншу висоту, якщо довжина сусідньої сторони 9 см.​

Answer 1

S=absin(ab)

40√3=8*10*sin(ab)

sin(ab)=√3/2

(ab)=П/3

2. 15 см

9*5=3*x

x=9*5/3=15

Answer 2

Давайте розглянемо обидва питання.

1. Знайдіть градусні міри кутів паралелограма, якщо його площа 40√3 см², довжини сторін 8 см і 10 см.

Площа паралелограма може бути знайдена за формулою:

\[ S = ah, \]

де \( a \) - довжина основи, \( h \) - висота.

У паралелограмі висота спускається з вершини протилежної сторони і розділяє його на два трикутники. Таким чином, площа паралелограма може бути також знайдена як сума площі обох трикутників:

\[ S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} a_1h + \frac{1}{2} a_2h, \]

де \( a_1 \) і \( a_2 \) - довжини сторін паралелограма, \( h \) - висота.

У нашому випадку:

\[ 40\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h. \]

Розв'язавши це рівняння, ми можемо знайти значення висоти \( h \).

\[ 40\sqrt{3} = 4h + 5h \]

\[ 40\sqrt{3} = 9h \]

\[ h = \frac{40\sqrt{3}}{9} \]

Тепер ми можемо використовувати тригонометричні відношення для знаходження кутів. Наприклад, для одного з кутів \( \theta \), маємо:

\[ \tan(\theta) = \frac{h}{a_1} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{40\sqrt{3}/9}{8} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{18} \]

\[ \theta = \arctan\left(\frac{5\sqrt{3}}{18}\right) \]

Аналогічно можна знайти інші кути.

2. Довжини висот паралелограма - 5 см і 3 см. Знайдіть довжину сторони паралелограма, до якої проведено меншу висоту, якщо довжина сусідньої сторони - 9 см.

Висоти паралелограма ділять його на два прямокутники. Давайте позначимо більшу сторону, до якої проведено меншу висоту, як \( b \), а меншу сторону, до якої проведено більшу висоту, як \( a \).

Використовуючи властивості прямокутника, можемо записати наступне:

\[ b = \sqrt{a^2 + h_1^2}, \]

\[ a = \sqrt{b^2 + h_2^2}, \]

де \( h_1 \) і \( h_2 \) - висоти паралелограма.

У нашому випадку:

\[ b = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \]

Таким чином, довжина сторони паралелограма, до якої проведено меншу висоту, дорівнює \( \sqrt{106} \) см.