Question

Длина гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 см больше длины одного из катетов, а сумма длин катетов на 6 см больше длины гипотенузы. Вычислите длины сторон этого треугольника.​

Answer 1

Відповідь:

Позначимо довжину одного із катетів через "x" см. Тоді довжина гіпотенузи буде "x + 2" см, і сума довжин катетів буде "x + x + 6" см.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:

гіпотенуза^2 = катет^2 + катет^2

(x + 2)^2 = x^2 + x^2

Розкривши квадрати:

x^2 + 4x + 4 = 2x^2

Тепер віднімемо x^2 від обох сторін:

4x + 4 = x^2

Переносимо все на одну сторону рівності:

x^2 - 4x - 4 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння. Можемо використовувати квадратну формулу для знаходження коренів:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку, a = 1, b = -4, і c = -4. Підставимо ці значення у формулу:

x = (4 ± √((-4)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1)

x = (4 ± √(16 + 16)) / 2

x = (4 ± √32) / 2

x = (4 ± 4√2) / 2

Тепер розділімо на 2:

x = 2 ± 2√2

Отже, ми знайшли два можливих значення довжини одного з катетів:

x = 2 + 2√2

x = 2 - 2√2

Тепер, можемо знайти інші довжини:

Довжина гіпотенузи: x + 2

Сума довжин катетів: 2x + 6

Підставимо обидва значення x:

Довжина гіпотенузи = (2 + 2√2) + 2 = 2√2 + 4

Сума довжин катетів = 2 * (2 + 2√2) + 6 = 4 + 4√2 + 6 = 10 + 4√2

Довжина гіпотенузи = (2 - 2√2) + 2 = 4 - 2√2

Сума довжин катетів = 2 * (2 - 2√2) + 6 = 8 - 4√2 + 6 = 14 - 4√2

Отже, є два можливих прямокутних трикутника з такими довжинами сторін:

Гіпотенуза: 2√2 + 4 см, Катети: 2 + 2√2 см, 10 + 4√2 см

Гіпотенуза: 4 - 2√2 см, Катети: 2 - 2√2 см, 14 - 4√2 см

Answer 2

Пусть один из катетов имеет длину x см. Тогда длина гипотенузы будет равна (x + 2) см.

Согласно условию, сумма длин катетов на 6 см больше длины гипотенузы:

x + (x + 2) = (x + x + 2) + 6

2x + 2 = 2x + 8

2 = 8

Это невозможно, так как уравнение получилось некорректным.

Следовательно, такого треугольника не существует.