Question

Точка М, не лежащая в плоскости некоторого многоугольника, равноудалена от его сторон. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

Answer 1

Предположим, что точка М лежит вне плоскости некоторого многоугольника и равноудалена от всех его сторон. Наша задача - показать, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

1. Возьмем любую сторону многоугольника и обозначим ее как AB.

2. Поскольку точка M равноудалена от стороны AB, расстояние от точки M до прямой AB будет одинаковым. Обозначим это расстояние как r.

3. Построим две окружности радиуса r с центрами в точках A и B. Эти окружности будут пересекаться в точке M, так как точка M равноудалена от обеих точек A и B.

4. Теперь рассмотрим другую сторону многоугольника, например, сторону BC. Поскольку точка M также равноудалена от стороны BC и имеет равное расстояние r, то она также должна лежать на окружности с центром в точке B и радиусом r.

5. Повторяя этот процесс для всех сторон многоугольника, мы увидим, что все эти окружности с центрами в вершинах многоугольника радиуса r будут иметь общие точки пересечения в точке M.

6. Получаем, что точка M является центром окружности, которая касается всех сторон многоугольника. Таким образом, эту окружность можно вписать в данный многоугольник.

Таким образом, если точка M лежит вне плоскости многоугольника и равноудалена от всех его сторон, то в этот многоугольник можно вписать окружность.