Question

Вычислите интеграл l (2x-3)^1/2 dx на отрезке [0,6]

Answer 1

$\int\limits^6_0 { (2x-3)^{ \frac{1}{2} } } \, dx \\ 2x-3 \geq 0; 2x \geq 3;x \geq \frac{3}{2}$
Для того чтобы определенный интеграл с границами интегрирования от a до b, где a<b существовал необходимо чтобы подинтегральная функция была определена во всех точках открытого интервала ]a,b[. В задании это условие нарушено⇒
⇒$\int\limits^6_0 { (2x-3)^{ \frac{1}{2} } } \, dx$≡∅

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, используем замену переменной. Пусть $u = 2x - 3$, тогда $du = 2dx$.

Интеграл принимает вид:

$\int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}$

$\frac{1}{2} \int u^{1/2} du$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C$

$\frac{1}{3} \cdot u^{3/2} + C$

$\frac{1}{3} \cdot (2x - 3)^{3/2} + C$

Теперь вычислим значение интеграла на отрезке [0,6]:

$\left[\frac{1}{3} \cdot (2x - 3)^{3/2}\right]_0^6$

$\frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 6 - 3)^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 0 - 3)^{3/2}$

$\frac{1}{3} \cdot (12 - 3)^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot (-3)^{3/2}$

$\frac{1}{3} \cdot 9^{3/2} + \frac{1}{3} \cdot 27$

$27 + 9$

$36$

Итак, значение интеграла $\int_{0}^{6} \sqrt{2x - 3} \, dx$ равно 36.