Question

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Через сторону основания и среднюю линию противолежащей боковой грани проведена плоскость. а)Докажите, что сечением пирамиды этой плоскостью является равнобедренная трапеция. б)Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Answer 1

Дано:                                                       Решение:
SABCD - правильная
AB = BC = BS = 1                ΔSCD и ΔSAB - равносторонние
SM = MC; SK = KB              CD = AB и CM = KB; => DM⊥SC и AK⊥SB
-----------------------------          Следовательно: AK = MD
Доказать:  AK = MD            и трапеция AKMD - равнобедренная 
Найти:  cos α                      

Построим SF⊥BC. Так как ΔBSC - равносторонний, то BF = FC = 0,5
Тогда:
            SF = √(SC²-FC²) = √0,75 = √3/2
        и  NF = SF/2 = √3/4

SX - высота пирамиды.
В ΔSXF:  ∠SXF = 90°; XF = 0,5; SF = √3/2
Тогда:
             SX = √(SF²-FX²) = √(0,75-0,5) = √0,25 = 0,5
и ΔSXF - равнобедренный, т.е. SX = XF = 0,5  и ∠SFX = 45°

В трапеции AKMD находим NP = MP': 

 так как KM = BC/2 по условию, то MN = BC/4 = 0,25
 так как DM⊥SC и СМ = 0,5; DC = 1, то: DM = √(1-0,25) = √3/2
 Тогда:
      NP = MP' = √(DM²-(PD-MN)²) = √(3/4 - (0,5-0,25)²) =√(11/16) = √11/4

В  ΔNPF:  NP = √11/4; NF = √3/4; PF = 1
По теореме косинусов:
                                    NF² = NP² + PF² - 2*NP*PF*cosα
                                    3/16 = 11/16 + 1 - 2√11/4 * 1 * cosα
                                    √11/2 * cosα = 11/16 - 3/16 + 1
                                    cosα = 3√11/11
                                    cosα = 0,9
                               
Ответ: 0,9

Answer 2

Для удобства обозначим вершины четырёхугольной пирамиды как A, B, C, D (вершина основания) и O (вершина пирамиды), а середины сторон основания как M, N, P, Q (см. рисунок ниже). Заметим, что основание ABCD является квадратом со стороной 1, а сторона MOQ является средней линией треугольника AOB.

mathematicaCopy code
      A
     / \
    /   \
   /     \
  M-------N
 /         \
D-----------C
     O

а) Докажем, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и среднюю линию противолежащей боковой грани (плоскость MOQ), является равнобедренная трапеция.

Для этого рассмотрим сечение плоскостью MOQ. Поскольку сторона MOQ является средней линией треугольника AOB, она делит сторону AB пополам. Также, так как MOQ проходит через среднюю линию противолежащей боковой грани, то точка OQ также делит ребро CD пополам. Таким образом, получаем следующее:

1. Мы имеем MO = 1/2 AB, так как MOQ проходит через середину AB.
2. Мы имеем OQ = 1/2 CD, так как MOQ проходит через середину CD.

Далее, чтобы доказать, что сечение является равнобедренной трапецией, нам нужно показать, что сторона MQ равна стороне NO. Заметим, что треугольники MOQ и NOQ являются подобными, так как угол MOQ равен углу NOQ (их обе равны углу BOQ, так как это соответственные углы при параллельных прямых AB и CD). Таким образом, у них соотношение сторон равно:

MQ / NO = MO / NO = MO / OQ = 1/2 AB / 1/2 CD = AB / CD = 1 / 1 = 1.

Таким образом, сторона MQ равна стороне NO, что делает сечение плоскостью MOQ равнобедренной трапецией.

б) Теперь найдём косинус угла между плоскостью сечения (плоскостью MOQ) и плоскостью основания (плоскостью ABCD).

Поскольку ABCD является квадратом, угол между его сторонами равен 90 градусов. Заметим, что сторона MOQ параллельна стороне AB, и угол между плоскостью MOQ и плоскостью ABCD равен углу MOQ. Таким образом, чтобы найти косинус этого угла, нам нужно найти косинус угла MOQ.

В треугольнике AOB с известными сторонами AO = 1 (равна длине ребра пирамиды) и BO = 1 (половина стороны основания), мы можем найти косинус угла MOQ (пусть он обозначен как α) с помощью косинуса угла трапеции AMOQ:

cos(α) = (AM^2 + MO^2 - AO^2) / (2 * AM * MO).

Мы знаем, что AM = 1/2 и MO = 1/2, так как MOQ - средняя линия треугольника AOB. Подставляя значения, получаем:

cos(α) = (1/4 + 1/4 - 1) / (2 * 1/2 * 1/2) = (1/2 - 1) / 1 = -1/2.

Таким образом, косинус угла между плоскостью сечения (плоскостью MOQ) и плоскостью основания (плоскостью ABCD) равен -1/2.