Question

Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 18 см, пересечена плоскостью, паралельной основанию пирамиды и проходящей через середину бокового ребра. Най дите высоту и апофему полученной усеченной пирамиды.

Answer 1

Высота и апофема усечённой пирамиды будут равны 1/2 высоты и апофемы данной правильной пирамиды, т.к. усечённая пирамида подобна данной с коэффициентом 1/2. Апофему находим, как катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора 18 в квадрате минус 9 в квадрате, равно 9 корней из 3. Для усечённой пирамиды это 4,5 корней из 3.

Высоту пирамиды так же находим по теореме Пифагора, как катет, где гипотенузой будет апофема, а другой катет - половина стороны  основания. H2=243-81=162, Н=9 корней из 2. Для усечённой пирамиды 4,5 корней из 2.  

 

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства подобных фигур и теорему Пифагора.

Поскольку плоскость, пересекающая пирамиду, параллельна основанию и проходит через середину бокового ребра, она разделяет пирамиду на две половины, каждая из которых - пирамидка.

Обозначим высоту и апофему исходной пирамиды через h и a соответственно. Заметим, что у обеих пирамидок основания являются равными прямоугольными треугольниками, так как они обладают прямыми углами и у них смежные стороны равны.

Рассмотрим одну из полученных пирамидок. Поскольку она является прямоугольным треугольником, апофема можно найти по теореме Пифагора: a^2 = (h/2)^2 + 9^2, a^2 = (h^2/4) + 81, a^2 = h^2/4 + 81, 4a^2 = h^2 + 324, h^2 = 4a^2 - 324, h = √(4a^2 - 324).

Таким образом, высоту полученной усеченной пирамиды можно выразить через апофему a:

h = √(4a^2 - 324).

Теперь найдем апофему полученной усеченной пирамиды. Она будет равна половине апофемы исходной пирамиды. То есть:

a' = a/2.

Таким образом, мы нашли формулы для высоты и апофемы полученной усеченной пирамиды:

h = √(4a^2 - 324), a' = a/2.

Заметим, что размеры ребер исходной пирамиды не заданы. Следовательно, нам не дана конкретная величина для a. Однако, если бы нам была дана эта информация, мы могли бы подставить ее в формулы и получить численный ответ.